Реши

Кратко

1. \(\varphi(t)=2{,}1t+\dfrac{\pi}{2}\) рад; начальная фаза равна \(\dfrac{\pi}{2}\).
2. Верхняя граничная частота больше нижней в \(1250\) раз: \(\dfrac{\nu_1}{\nu_2}=1250\).
3. Нить земного маятника длиннее примерно в \(6{,}06\) раза.
4. \(p_{\max}\approx 1{,}4\cdot10^{-3}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}\).
5. \(E_k:E_p=7:9\); потенциальная энергия больше кинетической в \(\dfrac97\approx1{,}29\) раза.

Подробно

1. Фаза колебаний

Общий вид: \[ x=A\cos(\omega t+\varphi_0). \] Вся скобка — это фаза: \[ \varphi(t)=\omega t+\varphi_0. \] По условию \(\omega=2{,}1\ \text{с}^{-1}\), \(\varphi_0=\dfrac{\pi}{2}\), поэтому \[ \varphi(t)=2{,}1t+\frac{\pi}{2}\ \text{рад}. \] Амплитуда \(A=4{,}2\) см на фазу не влияет — она задаёт размах колебаний.

2. Отношение граничных частот

Для волны \[ v=\lambda\nu \quad\Rightarrow\quad \nu=\frac{v}{\lambda}. \] Скорость звука \(v\) в одной и той же среде одинакова, поэтому при делении она сокращается: \[ \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{v/\lambda_1}{v/\lambda_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}. \] Переводим: \[ \lambda_1=16\ \text{мм}=0{,}016\ \text{м},\qquad \lambda_2=20\ \text{м}. \] Тогда \[ \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{20}{0{,}016} = 1250. \] То есть частота, соответствующая длине волны \(16\) мм, в \(1250\) раз больше частоты, соответствующей \(20\) м. Обратное отношение равно \(\frac1{1250}\).

3. Длины нитей математических маятников

Период математического маятника: \[ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}. \] Одинаковая частота означает одинаковый период. Тогда \[ \frac{l_{\text{З}}}{g_{\text{З}}} = \frac{l_{\text{Л}}}{g_{\text{Л}}}. \] Отсюда \[ \frac{l_{\text{З}}}{l_{\text{Л}}} = \frac{g_{\text{З}}}{g_{\text{Л}}} = \frac{9{,}81}{1{,}62} \approx 6{,}06. \] Значит, на Земле нужна более длинная нить — примерно в \(6{,}06\) раза.

4. Максимальный импульс шарика

По графику: \[ A=2{,}0\ \text{см}=0{,}020\ \text{м}, \] а расстояние между соседними максимумами: \[ T=4{,}0\ \text{с}. \] Циклическая частота: \[ \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}\ \text{рад/с}. \] Максимальная скорость: \[ v_{\max}=\omega A = \frac{\pi}{2}\cdot0{,}020 \approx0{,}0314\ \text{м/с}. \] Масса: \[ m=45\ \text{г}=0{,}045\ \text{кг}. \] Максимальный модуль импульса: \[ p_{\max}=mv_{\max} = 0{,}045\cdot0{,}0314 \approx1{,}4\cdot10^{-3}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}. \] Это примерно \(1{,}4\ \text{мН}\cdot\text{с}\).

5. Кинетическая и потенциальная энергии

Потенциальная энергия пружины: \[ E_p=\frac{kx^2}{2}. \] Полная энергия: \[ E=\frac{kA^2}{2}. \] При \(x=\dfrac34A\): \[ E_p=\frac{k}{2}\left(\frac34A\right)^2 = \frac{kA^2}{2}\cdot\frac{9}{16} = \frac{9}{16}E. \] Кинетическая энергия: \[ E_k=E-E_p = E-\frac{9}{16}E = \frac{7}{16}E. \] Поэтому \[ \frac{E_k}{E_p} = \frac{7/16}{9/16} = \frac79. \] То есть энергии относятся как \[ E_k:E_p=7:9. \] Потенциальная энергия больше в \[ \frac{E_p}{E_k}=\frac97\approx1{,}29 \] раза.