Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(32^\circ\)
- \(70^\circ,\ 70^\circ,\ 110^\circ,\ 110^\circ\)
- \(50^\circ\) — если в условии \(\angle ABO=65^\circ\)
- \(75^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ,\ 105^\circ\)
- \(12\) см и \(18\) см
- а) доказано; б) \(44\) см
1. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому \(OM=ON=OP\).
В треугольнике \(MON\):
\[ \angle OMN=\angle ONM=\frac{180^\circ-64^\circ}{2}=58^\circ. \]
Угол прямоугольника \(\angle NMP=90^\circ\), значит
\[ \angle OMP=90^\circ-58^\circ=32^\circ. \]
2. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы в сумме дают \(180^\circ\).
Дан угол \(70^\circ\), значит второй угол при этом же основании тоже \(70^\circ\). Остальные:
\[ 180^\circ-70^\circ=110^\circ. \]
Ответ: \(70^\circ,70^\circ,110^\circ,110^\circ\).
3. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому \(OA=OB\). Тогда треугольник \(AOB\) равнобедренный, и
\[ \angle BAO=\angle ABO=65^\circ. \]
Сумма углов треугольника:
\[ \angle BOA=180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ. \]
Если в условии действительно напечатано \(\angle AOB=65^\circ\), то \(\angle BOA\) — тот же самый угол, и ответ был бы \(65^\circ\). По смыслу задачи обычно имеют в виду \(\angle ABO=65^\circ\).
4. Углы при меньшем основании равнобедренной трапеции равны:
\[ 210^\circ:2=105^\circ. \]
Соседние с ними углы:
\[ 180^\circ-105^\circ=75^\circ. \]
Ответ: \(75^\circ,75^\circ,105^\circ,105^\circ\).
5. Пусть меньшая сторона \(x\) см, тогда большая \(x+6\) см. Периметр параллелограмма:
\[ 2(x+x+6)=60. \]
\[ 2x+6=30,\qquad x=12. \]
Тогда большая сторона:
\[ 12+6=18\text{ см}. \]
Ответ: \(12\) см и \(18\) см.
6. а) Дано \(AB=BM\), значит треугольник \(ABM\) равнобедренный, и
\[ \angle BAM=\angle BMA. \]
Так как \(AD\parallel BC\), а \(AM\) — секущая, то
\[ \angle BMA=\angle MAD. \]
Следовательно,
\[ \angle BAM=\angle MAD, \]
то есть \(AM\) делит угол \(BAD\) пополам. Значит, \(AM\) — биссектриса.
б) В параллелограмме \(AB=CD=8\) см. По условию \(BM=AB=8\) см, поэтому
\[ BC=BM+MC=8+6=14\text{ см}. \]
Периметр:
\[ P=2(AB+BC)=2(8+14)=44\text{ см}. \]
