Реши задание на изображении

Ниже — решения варианта 1. Всюду \(k,n,m\in\mathbb Z\).

Краткие ответы

1. \(\displaystyle x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\)
2. \(\displaystyle x=(-1)^{k+1}\frac{2\pi}{3}+2\pi k\)
3. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{12}+\pi k\)
4. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2\pi k;\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n\)
5. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\pi k;\quad x=\operatorname{arctg}\frac{2}{3}+\pi n\)
6. \(\displaystyle x=\pm 2\pi+6\pi k\)
7. \(\displaystyle x=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k\)
8. \(\displaystyle x=\operatorname{arctg}\frac{1}{3}+\pi k\)
9. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+\pi k;\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n\)
10. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{12}+\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}\)
11. \(\displaystyle x=\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\)
12. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\)
13. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+\pi k;\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi m}{5}\)
14. \(\displaystyle x=\pi k;\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\)
15. \(\displaystyle x=2\pi k\)

Как получаются ответы

Простейшие уравнения решаются по формулам: \[ \cos t=a:\ t=\pm\arccos a+2\pi k,\qquad \sin t=a:\ t=(-1)^k\arcsin a+\pi k,\qquad \operatorname{tg}t=a:\ t=\operatorname{arctg}a+\pi k. \]

1. \(3x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\), поэтому \(x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\).

2. \(\frac{x}{2}=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{3}+\pi k\), значит \(x=(-1)^{k+1}\frac{2\pi}{3}+2\pi k\).

3. \(x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+\pi k\), откуда \(x=\frac{\pi}{12}+\pi k\).

4. Замена \(t=\sin x\): \[ 2t^2-t-1=0 \Rightarrow t=1,\ t=-\frac12. \] Отсюда два семейства решений.

5. Пусть \(t=\operatorname{tg}x\), причём \(t\ne0\): \[ 3t+\frac{2}{t}=5 \Rightarrow 3t^2-5t+2=0 \Rightarrow t=1,\ t=\frac23. \]

6. Обозначим \(t=\cos\frac{x}{3}\). Тогда \(\cos\frac{2x}{3}=2t^2-1\): \[ 2t^2-5t-3=0 \Rightarrow t=3 \text{ или } t=-\frac12. \] Корень \(t=3\) невозможен, значит \(\cos\frac{x}{3}=-\frac12\).

7. Используем \(\cos2x=1-2\sin^2x\), \(s=\sin x\): \[ 1-2s^2+4\sqrt2\,s-4=0 \Rightarrow 2s^2-4\sqrt2\,s+3=0. \] Корни: \(\frac{3\sqrt2}{2}>1\) — не подходит, и \(s=\frac{\sqrt2}{2}\).

8. \(\cos x=3\sin x\). Здесь \(\cos x\ne0\), поэтому \[ 1=3\operatorname{tg}x \Rightarrow \operatorname{tg}x=\frac13. \]

9. \[ \sin2x-\cos x=2\sin x\cos x-\cos x =\cos x(2\sin x-1)=0. \]

10. Левая часть сворачивается: \[ \frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right). \] Далее: \[ \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos3x \Rightarrow x+\frac{\pi}{6}=\pm3x+2\pi k. \] Отсюда два семейства из ответа.

11. Здесь важна область определения: \(-\sin x\ge0\), то есть \(\sin x\le0\).
    Из равенства произведения нулю: \[ 2\cos x-1=0 \quad \text{или}\quad \sin x=0. \] У \(\cos x=\frac12\) берём только точки с \(\sin x\le0\), поэтому \(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k\).
    Второй множитель даёт \(x=\pi k\).

12. Нужно \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\), причём знаменатель не равен нулю: \[ 2\cos x+\sqrt2\ne0. \] Точка \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\) даёт нулевой знаменатель, поэтому она исключается. Остаётся \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\).

13. Используем \(\sin^2t=\frac{1-\cos2t}{2}\): \[ \sin^2x+\sin^22x+\sin^23x+\sin^24x =2-\frac12(\cos2x+\cos4x+\cos6x+\cos8x). \] Уравнение равно \(2\), значит сумма косинусов равна нулю: \[ \cos2x+\cos4x+\cos6x+\cos8x=0. \] Группируя, \[ 4\cos x\cos2x\cos5x=0. \] Отсюда \(\cos x=0\), \(\cos2x=0\) или \(\cos5x=0\).

14. Пусть \(s=\sin x\). Тогда \(\cos^4x=(1-s^2)^2\): \[ s^3+(1-s^2)^2=1 \Rightarrow s^2(s^2+s-2)=0 \Rightarrow s^2(s-1)(s+2)=0. \] Так как \(s\in[-1;1]\), возможны только \(s=0\) и \(s=1\).

15. Каждый косинус не больше \(1\), поэтому сумма двух косинусов равна \(2\) только если оба равны \(1\): \[ \cos2x=1,\quad \cos7x=1. \] Отсюда \(x=2\pi k\).