Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$

Ключевые шаги

1. Определи тип уравнения. Это приведённое квадратное уравнение вида $x^2+px+q=0$, где $p=-5$, $q=6$ (коэффициент при $x^2$ равен 1).

2. Примени теорему Виета. Для приведённого уравнения сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$:

$$x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6$$

3. Подбери пару чисел. Нужны два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Перебираем пары множителей шестёрки: $1\cdot6=6$, но $1+6=7$ — не подходит; $2\cdot3=6$ и $2+3=5$ — подходит. Значит, корни 2 и 3.

4. Проверь результат. Подстановкой:

• $2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0$ ✔
• $3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0$ ✔

И через разложение на множители: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ — произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой, то есть $x=2$ или $x=3$.

5. Универсальная проверка через дискриминант (работает, когда корни не подбираются):

$$D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1,\qquad x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}$$

Отсюда $x_1=3$, $x_2=2$ — совпало.

Принцип, который стоит запомнить

Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$ корни ищутся как «два числа с суммой $-p$ и произведением $q$». Если такие числа подбираются устно — решение занимает секунды; если нет (например, $x^2-5x+1=0$) — выручает дискриминант.