Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$

Как решать: три способа — все ведут к одному

1. Через дискриминант (универсальный способ)

$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0$$

Корней два:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}$$

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

2. По теореме Виета (быстро, когда $a=1$)

Для уравнения $x^2+px+q=0$: $$x_1+x_2=-p=5,\qquad x_1\cdot x_2=q=6$$

Ищем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.

3. Разложением на множители

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $$x-2=0 \Rightarrow x=2;\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3$$

Проверка

• $x=2$: $4-10+6=0$ ✓
• $x=3$: $9-15+6=0$ ✓

Принцип, который стоит запомнить

1. Квадратное уравнение приводим к виду $ax^2+bx+c=0$ и смотрим на знак $D$: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один, $D<0$ — корней нет.
2. Если $a=1$ и корни «красивые», Виета экономит время: сумма корней $=5$, произведение $=6$.
3. Корни всегда подставляй обратно в уравнение — это ловит ошибки со знаками, которые встречаются чаще всего.

Похожее задание того же типа: $x^2+7x+12=0$ — сумма корней $-7$, произведение $12$.