Реши задание на изображении

Question 1

Задача · 9 класс Задача №3744585

А

Аноним

20 октября 2026 07:16 · публичный вопрос

А

Аноним 20 октября 2026 07:16

Реши задание на изображении

Answer

Краткие ответы

\(BC=5\)
гипотенуза \(=13\)
\(\cos B=\dfrac{11}{14}\)
\(AB=2\sqrt6\approx4{,}90\)
\(AB=2\sqrt3\approx3{,}46\)
\(S=84\)
\(BC=8(\sqrt3-1)\approx5{,}86\)
\(\cos B=\dfrac15=0{,}2\)
\(R=5(\sqrt6-\sqrt2)\approx5{,}18\)
\(m_{BC}=\dfrac{\sqrt{313}}2\approx8{,}85\)

Ключевые шаги

В прямоугольном треугольнике катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы: \[ BC=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5. \]
Теорема Пифагора: \[ c^2=5^2+12^2=25+144=169,\qquad c=13. \]
Теорема косинусов для угла \(B\): \[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B. \] Отсюда \[ \cos B=\frac{7^2+8^2-5^2}{2\cdot7\cdot8} =\frac{49+64-25}{112} =\frac{88}{112} =\frac{11}{14}. \]
По теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}. \] Тогда \[ AB=6\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ} =6\cdot\frac{\sqrt2/2}{\sqrt3/2} =2\sqrt6. \]
Угол \(C\) — угол между сторонами \(BC\) и \(AC\). По теореме косинусов: \[ AB^2=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot\cos C. \] \[ AB^2=6^2+(4\sqrt3)^2-2\cdot6\cdot4\sqrt3\cdot\cos30^\circ =36+48-72=12. \] Значит, \[ AB=\sqrt{12}=2\sqrt3. \]
По формуле Герона: \[ p=\frac{13+14+15}{2}=21. \] \[ S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} =\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6} =\sqrt{7056}=84. \]
Третий угол: \[ \angle C=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ. \] По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin45^\circ}=\frac{AB}{\sin75^\circ}. \] \[ BC=8\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin75^\circ} =8(\sqrt3-1). \]
Для угла \(B\): \[ \cos B=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} =\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot5\cdot6} =\frac{12}{60} =\frac15. \]
Сторона \(BC\) лежит против угла \(A=75^\circ\). По расширенной теореме синусов: \[ BC=2R\sin A. \] Отсюда \[ R=\frac{BC}{2\sin75^\circ} =\frac{10}{2\sin75^\circ} =5(\sqrt6-\sqrt2). \]
Формула медианы к стороне \(BC\): \[ m_{BC}=\frac12\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}. \] \[ m_{BC}=\frac12\sqrt{2\cdot4^2+2\cdot15^2-13^2} =\frac12\sqrt{32+450-169} =\frac{\sqrt{313}}2. \]

Что важно запомнить: в прямоугольном треугольнике работают теорема Пифагора и свойство угла \(30^\circ\); в произвольном треугольнике теорему косинусов удобно применять при трёх сторонах или двух сторонах и угле между ними, а теорему синусов — когда есть соответствие «сторона — противолежащий угол». Радиус описанной окружности ищется по формуле \(R=\dfrac{a}{2\sin A}\).

Question 2

Реши задание на изображении

Answer

**Краткие ответы** 1. \(BC=5\) 2. гипотенуза \(=13\) 3. \(\cos B=\dfrac{11}{14}\) 4. \(AB=2\sqrt6\approx4{,}90\) 5. \(AB=2\sqrt3\approx3{,}46\) 6. \(S=84\) 7. \(BC=8(\sqrt3-1)\approx5{,}86\) 8. \(\cos B=\dfrac15=0{,}2\) 9. \(R=5(\sqrt6-\sqrt2)\approx5{,}18\) 10. \(m_{BC}=\dfrac{\sqrt{313}}2\approx8{,}85\) **Ключевые шаги** 1. В прямоугольном треугольнике катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы: \[ BC=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5. \] 2. Теорема Пифагора: \[ c^2=5^2+12^2=25+144=169,\qquad c=13. \] 3. Теорема косинусов для угла \(B\): \[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B. \] Отсюда \[ \cos B=\frac{7^2+8^2-5^2}{2\cdot7\cdot8} =\frac{49+64-25}{112} =\frac{88}{112} =\frac{11}{14}. \] 4. По теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}. \] Тогда \[ AB=6\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ} =6\cdot\frac{\sqrt2/2}{\sqrt3/2} =2\sqrt6. \] 5. Угол \(C\) — угол между сторонами \(BC\) и \(AC\). По теореме косинусов: \[ AB^2=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot\cos C. \] \[ AB^2=6^2+(4\sqrt3)^2-2\cdot6\cdot4\sqrt3\cdot\cos30^\circ =36+48-72=12. \] Значит, \[ AB=\sqrt{12}=2\sqrt3. \] 6. По формуле Герона: \[ p=\frac{13+14+15}{2}=21. \] \[ S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} =\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6} =\sqrt{7056}=84. \] 7. Третий угол: \[ \angle C=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ. \] По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin45^\circ}=\frac{AB}{\sin75^\circ}. \] \[ BC=8\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin75^\circ} =8(\sqrt3-1). \] 8. Для угла \(B\): \[ \cos B=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} =\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot5\cdot6} =\frac{12}{60} =\frac15. \] 9. Сторона \(BC\) лежит против угла \(A=75^\circ\). По расширенной теореме синусов: \[ BC=2R\sin A. \] Отсюда \[ R=\frac{BC}{2\sin75^\circ} =\frac{10}{2\sin75^\circ} =5(\sqrt6-\sqrt2). \] 10. Формула медианы к стороне \(BC\): \[ m_{BC}=\frac12\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}. \] \[ m_{BC}=\frac12\sqrt{2\cdot4^2+2\cdot15^2-13^2} =\frac12\sqrt{32+450-169} =\frac{\sqrt{313}}2. \] **Что важно запомнить:** в прямоугольном треугольнике работают теорема Пифагора и свойство угла \(30^\circ\); в произвольном треугольнике теорему косинусов удобно применять при трёх сторонах или двух сторонах и угле между ними, а теорему синусов — когда есть соответствие «сторона — противолежащий угол». Радиус описанной окружности ищется по формуле \(R=\dfrac{a}{2\sin A}\).