Реши задание на изображении

Кратко: ответы

Главное правило

Для выражений вида
\[ \log_a f(x) \quad \text{нужно } f(x)>0. \]

Если \(a>1\), то логарифмическая функция возрастает: \[ \log_a f > \log_a g \iff f>g. \]

Если \(0<a<1\), функция убывает, поэтому знак неравенства меняется: \[ \log_a f > \log_a g \iff f<g. \]

Число удобно записывать как логарифм: \[ c=\log_a a^c. \]

Решения

1.1

\[ \log_5 x>\log_5 3 \] ОДЗ: \(x>0\). Основание \(5>1\), значит: \[ x>3. \] Ответ: \((3;+\infty)\).

1.2

\[ \log_{1/5}x<\log_{1/5}\frac18 \] ОДЗ: \(x>0\). Основание \(0<\frac15<1\), поэтому знак меняется: \[ x>\frac18. \] Ответ: \(\left(\frac18;+\infty\right)\).

2.1

\[ \log_2(x-4)<1 \] ОДЗ: \[ x-4>0 \Rightarrow x>4. \] Так как \(1=\log_2 2\), получаем: \[ \log_2(x-4)<\log_2 2. \] Основание \(2>1\): \[ x-4<2 \Rightarrow x<6. \] С учётом ОДЗ: \[ 4<x<6. \] Ответ: \((4;6)\).

2.2

\[ \lg x>2-\lg4 \] ОДЗ: \(x>0\). Учитываем, что \(2=\lg100\): \[ \lg x>\lg100-\lg4 \] \[ \lg x>\lg\frac{100}{4}=\lg25. \] Основание \(10>1\): \[ x>25. \] Ответ: \((25;+\infty)\).

3.1

\[ \log_{1/5}(3x-5)>\log_{1/5}(x+1) \] ОДЗ: \[ 3x-5>0,\quad x+1>0 \] \[ x>\frac53. \] Основание \(\frac15<1\), поэтому знак неравенства меняется: \[ 3x-5<x+1 \] \[ 2x<6 \] \[ x<3. \] С учётом ОДЗ: \[ \frac53<x<3. \] Ответ: \(\left(\frac53;3\right)\).

3.2

\[ \lg(3x-4)<\lg(2x+1) \] ОДЗ: \[ 3x-4>0,\quad 2x+1>0 \] \[ x>\frac43. \] Основание \(10>1\), значит: \[ 3x-4<2x+1 \] \[ x<5. \] С учётом ОДЗ: \[ \frac43<x<5. \] Ответ: \(\left(\frac43;5\right)\).

4

\[ \log_{15}(x-3)+\log_{15}(x-5)<1 \] ОДЗ: \[ x-3>0,\quad x-5>0 \] \[ x>5. \] Складываем логарифмы: \[ \log_{15}\bigl((x-3)(x-5)\bigr)<\log_{15}15. \] Основание \(15>1\): \[ (x-3)(x-5)<15. \] Раскрываем скобки: \[ x^2-8x+15<15 \] \[ x^2-8x<0 \] \[ x(x-8)<0. \] Отсюда: \[ 0<x<8. \] Но по ОДЗ \(x>5\), поэтому: \[ 5<x<8. \] Ответ: \((5;8)\).

5

\[ \log_3(x^2+2x)>1 \] ОДЗ: \[ x^2+2x>0 \] \[ x(x+2)>0. \] Значит: \[ x<-2 \quad \text{или} \quad x>0. \]

Так как \(1=\log_3 3\), имеем: \[ \log_3(x^2+2x)>\log_3 3. \] Основание \(3>1\): \[ x^2+2x>3 \] \[ x^2+2x-3>0 \] \[ (x+3)(x-1)>0. \] Отсюда: \[ x<-3 \quad \text{или} \quad x>1. \] Эти промежутки уже полностью подходят под ОДЗ.

Ответ: \[ (-\infty;-3)\cup(1;+\infty). \]

Проверка границ: например, в №4 при \(x=8\) получаем \(\log_{15}15=1\), а нужно строго меньше \(1\), значит \(x=8\) не входит. При \(x=5\) не определён второй логарифм. Поэтому все концы промежутков не включаются.