Один угол параллелограмма меньше другого на 136°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: \(158^\circ\).

1. Параллелограмм

Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший — \(x+136^\circ\).

Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\):

\[ x+(x+136)=180 \]

\[ 2x=44 \quad\Rightarrow\quad x=22^\circ \]

Тогда больший угол:

\[ 22+136=158^\circ \]

Ответ: \(158^\circ\).

2. Прямоугольник \(BKXF\)

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам и равны, поэтому:

\[ EB=EX=EK=EF \]

Углы \(\angle XEF\) и \(\angle KEX\) — смежные, значит:

\[ \angle KEX=180^\circ-164^\circ=16^\circ \]

Далее \(\angle BEK=\angle XEF=164^\circ\) как вертикальные. В треугольнике \(BEK\):

\[ EB=EK \]

значит, он равнобедренный, и углы при основании равны:

\[ \angle KBX=\angle KBE=\frac{180^\circ-164^\circ}{2}=8^\circ \]

Ответ: \(\angle KEX=16^\circ,\ \angle KBX=8^\circ\).

3. Ромб \(TFHX\)

В ромбе противоположные углы равны, а соседние дают в сумме \(180^\circ\).

\[ \angle FHX=92^\circ \]

Значит, противоположный угол при вершине \(T\) тоже равен \(92^\circ\), а соседние углы при \(F\) и \(X\):

\[ 180^\circ-92^\circ=88^\circ \]

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам. Поэтому в треугольнике \(TSF\):

• угол при \(S\):
  \[ \angle TSF=90^\circ \]

• угол при \(T\):
  \[ \angle STF=92^\circ:2=46^\circ \]

• угол при \(F\):
  \[ \angle SFT=88^\circ:2=44^\circ \]

Ответ: углы треугольника \(TSF\) равны \(46^\circ,\ 90^\circ,\ 44^\circ\).

Вот рисунок к номеру 2 (схематично, не в масштабе):

B ───────── K
│ ╲       ╱ │
│   ╲   ╱   │
│     E     │
│   ╱   ╲   │
│ ╱       ╲ │
F ───────── X

\(E\) — точка пересечения диагоналей \(BX\) и \(KF\).
Дано: \(\angle XEF=164^\circ\).

Решение

1. \(K,E,F\) лежат на одной прямой, поэтому углы \(\angle XEF\) и \(\angle KEX\) смежные:

\[ \angle KEX=180^\circ-164^\circ=16^\circ \]

2. В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам:

\[ EB=EX=EK=EF \]

Значит, треугольник \(BEK\) равнобедренный.

Угол \(\angle BEK\) вертикален углу \(\angle XEF\), поэтому:

\[ \angle BEK=164^\circ \]

Тогда углы при основании:

\[ \angle KBE=\angle BKE=\frac{180^\circ-164^\circ}{2}=8^\circ \]

А \(\angle KBE\) — это тот же угол, что и \(\angle KBX\).

\[ \boxed{\angle KEX=16^\circ,\qquad \angle KBX=8^\circ} \]

Ответ: \(16^\circ\) и \(8^\circ\).

Номер 3 — с рисунком

Схема (не в масштабе):

        T
       /|\
      / | \
     F--S--H
      \ | /
       \|/
        X

\(S\) — точка пересечения диагоналей \(TH\) и \(FX\).
Дано: \(\angle FHX=92^\circ\).

Решение

В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\).

Угол при вершине \(H\):

\[ \angle FHX=92^\circ \]

Значит, противоположный ему угол при вершине \(T\) тоже равен \(92^\circ\):

\[ \angle FTH=92^\circ \]

Тогда углы при вершинах \(F\) и \(X\):

\[ 180^\circ-92^\circ=88^\circ \]

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому:

\[ \angle TSF=90^\circ \]

Диагональ \(TH\) делит угол \(T\) пополам:

\[ \angle STF=\frac{92^\circ}{2}=46^\circ \]

Диагональ \(FX\) делит угол \(F\) пополам:

\[ \angle SFT=\frac{88^\circ}{2}=44^\circ \]

\[ \boxed{\angle TSF=90^\circ,\quad \angle STF=46^\circ,\quad \angle SFT=44^\circ} \]

Ответ: \(90^\circ,\ 46^\circ,\ 44^\circ\).