(3/x+2 - 1/x-2 - 12/4-x²) : x+7/x-2. упрости выражение действиям
Буду понимать запись так:
\[ \left(\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}-\frac{12}{4-x^2}\right):\frac{x+7}{x-2}. \]
Ответ:
\[
\boxed{\frac{2}{x+7}},\qquad x\ne -7,\,-2,\,2.
\]
Решение по действиям
- Упростим выражение в скобках. Заметим, что
\[ 4-x^2=-(x-2)(x+2), \] поэтому \[ -\frac{12}{4-x^2}=+\frac{12}{(x-2)(x+2)}. \]
Приводим к общему знаменателю \((x-2)(x+2)\):
\[ \frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}-\frac{12}{4-x^2} = \frac{3(x-2)-(x+2)+12}{(x-2)(x+2)}. \]
Раскрываем числитель:
\[ 3(x-2)-(x+2)+12 =3x-6-x-2+12 =2x+4=2(x+2). \]
Значит,
\[ \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2}{x-2}. \]
- Теперь выполняем деление:
\[ \frac{2}{x-2}:\frac{x+7}{x-2} = \frac{2}{x-2}\cdot\frac{x-2}{x+7} = \frac{2}{x+7}. \]
Проверка
Возьмём \(x=0\):
Исходное выражение: \[ \left(\frac32-\frac1{-2}-\frac{12}{4}\right):\frac7{-2} =(1{,}5+0{,}5-3):(-3{,}5) =\frac{2}{7}. \]
Упрощённое: \[ \frac{2}{0+7}=\frac27. \] Совпало.
Принцип: сначала привести дроби в скобках к общему знаменателю, затем заменить деление умножением на обратную дробь. Обязательно учитывать, что знаменатели не равны нулю.
Обсуждение
2 сообщения(3/x+2 - 1/x-2 - 12/4-x²) : x+7/x-2. упрости выражение по действиям
Считаю, что задание записано так:
\[ \left(\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}-\frac{12}{4-x^2}\right):\frac{x+7}{x-2}. \]
1 действие. Упростим выражение в скобках
Заметим, что
\[ 4-x^2=-(x^2-4)=-(x-2)(x+2). \]
Поэтому
\[ -\frac{12}{4-x^2} =+\frac{12}{(x-2)(x+2)}. \]
Значит, скобка имеет вид:
\[ \frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}+\frac{12}{(x-2)(x+2)}. \]
2 действие. Приведём дроби к общему знаменателю
Общий знаменатель:
\[ (x-2)(x+2). \]
Получаем:
\[ \frac{3(x-2)-(x+2)+12}{(x-2)(x+2)}. \]
3 действие. Раскроем скобки в числителе
\[ 3(x-2)-(x+2)+12 =3x-6-x-2+12 =2x+4 =2(x+2). \]
Тогда:
\[ \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} =\frac{2}{x-2}. \]
То есть вся скобка равна:
\[ \frac{2}{x-2}. \]
4 действие. Выполним деление
\[ \frac{2}{x-2}:\frac{x+7}{x-2} = \frac{2}{x-2}\cdot\frac{x-2}{x+7}. \]
Сокращаем \(x-2\):
\[ \frac{2}{x+7}. \]
Ответ
\[ \boxed{\frac{2}{x+7}} \]
при условии:
\[ \boxed{x\ne -7,\quad x\ne -2,\quad x\ne 2.} \]
Кратко по действиям:
\[ \left(\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}-\frac{12}{4-x^2}\right) = \frac{3(x-2)-(x+2)+12}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x+4}{(x-2)(x+2)} = \frac{2}{x-2}. \]
Затем:
\[ \frac{2}{x-2}:\frac{x+7}{x-2} = \frac{2}{x-2}\cdot\frac{x-2}{x+7} = \frac{2}{x+7}. \]
