Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(g(x)=0\) при \(x=5\);
   \(g(x)>0\) при \(x<5\);
   \(g(x)<0\) при \(x>5\);
   функция убывает на всей области определения.

2. а) \(x^2-10x+21=(x-3)(x-7)\);
   б) \(5y^2+9y-2=(5y-1)(y+2)\).

3. \[\frac{4c^2+7c-2}{1-16c^2}=-\frac{c+2}{4c+1},\quad c\ne \pm \frac14.\]

4. По рис. 2:
   нули функции: \(x=-3,\;1,\;3\);
   возрастает на \([-5;-1]\) и \([2;4]\);
   убывает на \([-1;2]\);
   область значений: \([-2;4]\).

5. График функции \(y=x^2-6x+5\) — парабола с вершиной \((3;-4)\).
   а) \(y(0{,}5)=2{,}25\);
   б) при \(y=-1\): \(x=3\pm\sqrt3\approx1{,}27\) и \(4{,}73\);
   в) нули: \(x=1,\;5\);
   \(y>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)\);
   \(y<0\) при \(x\in(1;5)\);
   г) возрастает на \([3;+\infty)\).

Как это получается

1. Линейная функция \(g(x)=-13x+65\)

Решаем уравнение: \[ -13x+65=0 \Rightarrow x=5. \]

Неравенства: \[ -13x+65<0 \Rightarrow x>5, \] \[ -13x+65>0 \Rightarrow x<5. \]

Коэффициент при \(x\) равен \(-13<0\), значит, прямая идёт вниз: функция убывает.

2. Разложение квадратного трёхчлена

а) \[ x^2-10x+21. \] Корни: \(3\) и \(7\), так как \(3\cdot7=21\), \(3+7=10\). Поэтому: \[ x^2-10x+21=(x-3)(x-7). \]

б) \[ 5y^2+9y-2. \] Корни: \[ D=9^2-4\cdot5\cdot(-2)=81+40=121, \] \[ y=\frac{-9\pm11}{10}, \] то есть \(y=\frac15\) и \(y=-2\). Значит: \[ 5y^2+9y-2=5\left(y-\frac15\right)(y+2)=(5y-1)(y+2). \]

Проверка: \[ (5y-1)(y+2)=5y^2+10y-y-2=5y^2+9y-2. \]

3. Сокращение дроби

Разложим числитель: \[ 4c^2+7c-2=(4c-1)(c+2). \] Знаменатель: \[ 1-16c^2=(1-4c)(1+4c)=-(4c-1)(4c+1). \] Тогда: \[ \frac{4c^2+7c-2}{1-16c^2} = \frac{(4c-1)(c+2)}{-(4c-1)(4c+1)} = -\frac{c+2}{4c+1}. \] При сокращении нужно помнить, что \(c\ne \frac14\) и \(c\ne -\frac14\), иначе знаменатель обращается в нуль.

4. Чтение графика

Нули функции — это точки, где график пересекает ось \(Ox\). По рисунку это: \[ x=-3,\quad x=1,\quad x=3. \]

График поднимается на промежутках: \[ [-5;-1]\quad \text{и}\quad [2;4], \] значит, там функция возрастает.
График опускается на: \[ [-1;2], \] значит, там функция убывает.

Самое нижнее значение графика: \(y=-2\), самое верхнее: \(y=4\). Поэтому область значений: \[ [-2;4]. \]

5. Функция \(y=x^2-6x+5\)

Выделим полный квадрат: \[ x^2-6x+5=(x-3)^2-4. \] Вершина параболы: \((3;-4)\), ветви направлены вверх.

Для построения можно взять точки: \[ (0;5),\ (1;0),\ (2;-3),\ (3;-4),\ (4;-3),\ (5;0),\ (6;5). \]

а) \(x=0{,}5\)

\[ y=0{,}5^2-6\cdot0{,}5+5=0{,}25-3+5=2{,}25. \]

б) \(y=-1\)

\[ x^2-6x+5=-1, \] \[ x^2-6x+6=0, \] \[ x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}2=3\pm\sqrt3. \] То есть примерно \(1{,}27\) и \(4{,}73\).

в) Нули функции

\[ x^2-6x+5=0, \] \[ (x-1)(x-5)=0, \] значит: \[ x=1,\quad x=5. \] Парабола ветвями вверх, поэтому: \[ y>0 \text{ при } x<1 \text{ или } x>5, \] \[ y<0 \text{ при } 1<x<5. \]

г) Возрастание

Вершина в точке \(x=3\), ветви вверх. Значит, функция возрастает при: \[ x\in[3;+\infty). \]