Номер 200

Краткий ответ

1. \(2<x<3,6\), или \((2;\,3,6)\)
2. \(1,5<x<7\), или \((1,5;\,7)\)
3. \(x<-2\), или \((-\infty;\,-2)\)

Как рассуждать

Система неравенств означает, что все её неравенства должны выполняться одновременно. Поэтому решаем каждое неравенство отдельно, а затем берём общую часть решений — их пересечение.

Важно: если делим или умножаем обе части на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

---

1)

\[ \begin{cases} x<4,\\ x>2,\\ x<3,6. \end{cases} \]

Условие \(x<3,6\) сильнее, чем \(x<4\), поэтому ограничение \(x<4\) уже учтено. Остаётся:

\[ 2<x<3,6. \]

Ответ: \((2;\,3,6)\).

---

2)

\[ \begin{cases} 2x-6<8,\\ 4-4x<10,\\ 8x-9>3. \end{cases} \]

Решаем по отдельности:

\[ 2x-6<8 \quad\Rightarrow\quad 2x<14 \quad\Rightarrow\quad x<7. \]

\[ 4-4x<10 \quad\Rightarrow\quad -4x<6 \quad\Rightarrow\quad x>-1,5 \]

— здесь при делении на \(-4\) знак поменялся.

\[ 8x-9>3 \quad\Rightarrow\quad 8x>12 \quad\Rightarrow\quad x>1,5. \]

Из условий \(x>-1,5\) и \(x>1,5\) сильнее второе. Значит:

\[ 1,5<x<7. \]

Ответ: \((1,5;\,7)\).

---

3)

\[ \begin{cases} 0,4-8x\ge 3,6,\\ 1,5x-2<4,\\ 4,1x+10<1,6x+5. \end{cases} \]

Первое:

\[ 0,4-8x\ge 3,6 \]

\[ -8x\ge 3,2 \]

\[ x\le -0,4 \]

— при делении на \(-8\) знак \(\ge\) поменялся на \(\le\).

Второе:

\[ 1,5x-2<4 \]

\[ 1,5x<6 \]

\[ x<4. \]

Третье:

\[ 4,1x+10<1,6x+5 \]

\[ 4,1x-1,6x<5-10 \]

\[ 2,5x<-5 \]

\[ x<-2. \]

Теперь пересекаем:

\[ x\le -0,4,\qquad x<4,\qquad x<-2. \]

Самое сильное ограничение — \(x<-2\). Оно автоматически даёт и \(x\le -0,4\), и \(x<4\).

Ответ: \((-\infty;\,-2)\).

Проверка идеи

Например, в третьей системе возьмём \(x=-3\):

\[ 0,4-8(-3)=24,4\ge 3,6; \]

\[ 1,5(-3)-2=-6,5<4; \]

\[ 4,1(-3)+10=-2,3<1,6(-3)+5=0,2. \]

Все три неравенства выполняются. А \(x=-2\) уже не подходит, потому что третье неравенство превращается в равенство, а там нужен строгий знак \(<\).