Реши задание на изображении

На листе два варианта — левый и правый столбцы. Ниже решения для обоих.

1. Множество значений функции

Левый вариант: \[ y=2\sin^2x-\cos2x=(1-\cos2x)-\cos2x=1-2\cos2x. \] Так как \(-1\le \cos2x\le 1\), то \[ E(y)=[1-2;\;1+2]=[-1;\,3]. \]

Правый вариант: \[ y=1-8\sin x\cos x=1-4\sin2x. \] Так как \(-1\le \sin2x\le 1\), то \[ E(y)=[1-4;\;1+4]=[-3;\,5]. \]

2. Чётность и нечётность

Левый вариант:

а) \(y=\cos3x\): \[ y(-x)=\cos(-3x)=\cos3x=y(x), \] значит функция чётная.

б) \(y=\frac{x}{2}\operatorname{tg}^2x\): \[ y(-x)=\frac{-x}{2}\operatorname{tg}^2(-x) =-\frac{x}{2}\operatorname{tg}^2x=-y(x), \] значит функция нечётная.

Правый вариант:

а) \(y=2\sin4x\): \[ y(-x)=2\sin(-4x)=-2\sin4x=-y(x), \] функция нечётная.

б) \(y=2\cos\frac{x}{2}\): \[ y(-x)=2\cos\left(-\frac{x}{2}\right)=2\cos\frac{x}{2}=y(x), \] функция чётная.

3. Корни уравнения на \([0;3\pi]\)

Левый вариант: \[ 2\cos x+\sqrt3=0 \] \[ \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}. \] Общее решение: \[ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \] В промежуток \([0;3\pi]\) попадают: \[ \boxed{\frac{5\pi}{6};\ \frac{7\pi}{6};\ \frac{17\pi}{6}}. \]

Правый вариант: \[ \sqrt3-2\sin x=0 \] \[ \sin x=\frac{\sqrt3}{2}. \] Общее решение: \[ x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \] В промежуток \([0;3\pi]\) попадают: \[ \boxed{\frac{\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3}}. \]

4. Наименьший положительный период

Для функций \(\sin(kx)\) и \(\cos(kx)\) период: \[ T=\frac{2\pi}{|k|}. \]

Левый вариант: \[ y=\sin\frac{x}{4},\qquad k=\frac14, \] \[ T=\frac{2\pi}{1/4}=8\pi. \]

Правый вариант: \[ y=\cos4x,\qquad k=4, \] \[ T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}. \]

5. Графики функций

Левый вариант: \(y=2\sin x+1\)

График получается из \(y=\sin x\) растяжением по вертикали в 2 раза и сдвигом вверх на 1.

Ключевые точки на одном периоде:

Нули функции: \(x=\frac{7\pi}{6}\) и \(x=\frac{11\pi}{6}\).

Правый вариант: \(y=1-2\cos x\)

График получается из \(y=\cos x\) отражением от оси \(Ox\), растяжением в 2 раза и сдвигом вверх на 1.

Ключевые точки:

Нули функции: \(x=\frac{\pi}{3}\) и \(x=\frac{5\pi}{3}\).

Оба графика периодически продолжаются влево и вправо с периодом \(2\pi\).