Реши задание на изображении

Ниже — подробный ход решения каждой задачи и объяснение, почему применяется именно такая формула.

---

1. Две стороны \(10\) и \(12\), угол между ними \(120^\circ\)

Дано: \[ a=10,\quad b=12,\quad \angle C=120^\circ. \] Нужно найти третью сторону и площадь.

Третья сторона — теорема косинусов

Если известны две стороны и угол между ними, применяем теорему косинусов: \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C. \]

Подставляем: \[ c^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos120^\circ. \]

Так как \[ \cos120^\circ=-\frac12, \] то: \[ c^2=100+144-240\cdot\left(-\frac12\right) =100+144+120=364. \]

Значит: \[ c=\sqrt{364}=\sqrt{4\cdot91}=2\sqrt{91}\approx19{,}1\text{ см}. \]

Площадь — через две стороны и угол

\[ S=\frac12 ab\sin C. \]

\[ S=\frac12\cdot10\cdot12\cdot\sin120^\circ. \]

\[ \sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \] поэтому: \[ S=60\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3\approx52{,}0\text{ см}^2. \]

Ответ: \(2\sqrt{91}\) см; \(30\sqrt3\) см².

---

2. \(AC=5\sqrt2\), \(\angle B=45^\circ\), \(\angle C=30^\circ\). Найти \(AB\)

Здесь известны сторона и два угла. В таких задачах обычно применяют теорему синусов: \[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}. \]

Смотрим, какие стороны и углы связаны.

• Сторона \(AB\) лежит против угла \(C\).
• Сторона \(AC\) лежит против угла \(B\).

Записываем: \[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}. \]

Тогда: \[ AB=\frac{AC\cdot\sin C}{\sin B}. \]

Подставляем: \[ AB=\frac{5\sqrt2\cdot\sin30^\circ}{\sin45^\circ}. \]

\[ \sin30^\circ=\frac12,\qquad \sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}. \]

Тогда: \[ AB=\frac{5\sqrt2\cdot\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}. \]

Сокращаем: \[ AB=5. \]

Ответ: \(AB=5\) см.

---

3. Стороны \(6\), \(8\), \(11\). Определить вид треугольника

Чтобы определить, является треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, сравнивают квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других.

Берём наибольшую сторону: \[ 11^2=121. \]

Сумма квадратов двух других: \[ 6^2+8^2=36+64=100. \]

Сравниваем: \[ 121>100. \]

Если квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других, то угол против этой стороны тупой. Значит, треугольник тупоугольный.

Для справки:

• \(c^2<a^2+b^2\) — остроугольный;
• \(c^2=a^2+b^2\) — прямоугольный;
• \(c^2>a^2+b^2\) — тупоугольный.

Ответ: треугольник тупоугольный.

---

4. Одна сторона на \(3\) см меньше другой, угол между ними \(60^\circ\), третья сторона \(7\) см. Найти периметр

Пусть меньшая сторона: \[ x. \]

Тогда другая сторона: \[ x+3. \]

Угол между ними: \[ 60^\circ. \]

Третья сторона, лежащая против этого угла: \[ 7. \]

Применяем теорему косинусов: \[ 7^2=x^2+(x+3)^2-2x(x+3)\cos60^\circ. \]

Так как: \[ \cos60^\circ=\frac12, \] то: \[ 49=x^2+(x+3)^2-x(x+3). \]

Раскрываем скобки: \[ 49=x^2+x^2+6x+9-x^2-3x. \]

\[ 49=x^2+3x+9. \]

Переносим всё в одну сторону: \[ x^2+3x+9-49=0, \] \[ x^2+3x-40=0. \]

Решаем квадратное уравнение: \[ D=3^2-4\cdot1\cdot(-40)=9+160=169. \]

\[ x=\frac{-3\pm13}{2}. \]

Получаем: \[ x=5 \quad \text{или} \quad x=-8. \]

Длина не может быть отрицательной, поэтому: \[ x=5. \]

Значит, стороны, между которыми угол \(60^\circ\): \[ 5\text{ см и }8\text{ см}. \]

Третья сторона дана: \[ 7\text{ см}. \]

Периметр: \[ P=5+8+7=20\text{ см}. \]

Ответ: \(20\) см.

---

5. Стороны \(4\), \(5\), \(7\). Найти медиану к меньшей стороне

Меньшая сторона: \[ a=4. \]

Медиану к стороне \(a\) можно найти по формуле: \[ m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}, \] где \(b\) и \(c\) — две другие стороны.

У нас: \[ a=4,\quad b=5,\quad c=7. \]

Подставляем: \[ m^2=\frac{2\cdot5^2+2\cdot7^2-4^2}{4}. \]

\[ m^2=\frac{2\cdot25+2\cdot49-16}{4}. \]

\[ m^2=\frac{50+98-16}{4}. \]

\[ m^2=\frac{132}{4}=33. \]

Значит: \[ m=\sqrt{33}\approx5{,}7\text{ см}. \]

Ответ: \(\sqrt{33}\) см.

---

Как быстро выбирать способ

1. Даны две стороны и угол между ними → теорема косинусов.
2. Даны сторона и два угла → теорема синусов.
3. Даны три стороны, нужно определить вид треугольника → сравниваем квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других.
4. Нужен периметр → сначала находим неизвестную сторону, затем складываем все три стороны.
5. Нужна медиана по трём сторонам → формула медианы: \[ m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}. \]