Реши задание на изображении
Краткий ответ:
Задача 1 — 7
Задача 2 — 64
Задача 1
\[ \left(7^{\log_5 13}\right)^{\log_{13}5} \]
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
\[ =7^{\log_5 13\cdot \log_{13}5} \]
Теперь используем свойство логарифмов:
\[ \log_a b\cdot \log_b a=1 \]
То есть
\[ \log_5 13\cdot \log_{13}5=1 \]
Значит:
\[ 7^1=7 \]
Ответ: 7.
Задача 2
\[ 7^{3\log_7 4} \]
Используем основное логарифмическое тождество:
\[ a^{\log_a b}=b \]
Сначала перепишем степень:
\[ 7^{3\log_7 4}=\left(7^{\log_7 4}\right)^3 \]
Так как \(7^{\log_7 4}=4\), получаем:
\[ 4^3=64 \]
Ответ: 64.
Что важно запомнить
Если в показателе стоит логарифм по тому же основанию: \[ a^{\log_a b}=b \]
Если степень вложена в степень: \[ (a^m)^n=a^{mn} \]
Взаимные логарифмы дают единицу: \[ \log_a b\cdot \log_b a=1 \]
Обсуждение
2 сообщенияОтветы:
Задача 4 — 9,5 (или \(\frac{19}{2}\))
Задача 5 — 0,4 (или \(\frac25\))
Задача 4
\[ 38\log_{25}\sqrt5 \]
Так как \(\sqrt5=5^{1/2}\), а \(25=5^2\):
\[ \log_{25}\sqrt5=\log_{5^2}5^{1/2} =\frac{1/2}{2}=\frac14 \]
Значит:
\[ 38\cdot \frac14=\frac{38}{4}=9,5 \]
Задача 5
\[ \frac{\log_9 21}{5\log_{81}21} \]
Перейдём к основанию \(3\):
\[ \log_9 21=\frac{\log_3 21}{\log_3 9} =\frac12\log_3 21 \]
\[ \log_{81}21=\frac{\log_3 21}{\log_3 81} =\frac14\log_3 21 \]
Тогда:
\[ \frac{\frac12\log_3 21}{5\cdot \frac14\log_3 21} = \frac{\frac12}{\frac54} = \frac12\cdot \frac45 = \frac25 = 0,4 \]
Ответы: 4) 9,5; 5) 0,4.
