8.18 а б
Кратко:
8.18 а) \(x=9\); б) \(x=\dfrac14\).
Главная идея. Если одна часть уравнения строго возрастает, а другая строго убывает, то уравнение имеет не более одного корня. Поэтому достаточно найти один корень — и он будет единственным. Сначала обязательно учитываем ОДЗ.
а) \(\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=23-2x\)
ОДЗ: \[ x-5\ge 0 \Rightarrow x\ge 5. \]
Левая часть \[ \sqrt{x}+\sqrt{x-5} \] строго возрастает при \(x\ge 5\), а правая часть \(23-2x\) строго убывает. Значит, корень может быть только один.
Подбираем: при \(x=9\) \[ \sqrt9+\sqrt{9-5}=3+2=5, \] \[ 23-2\cdot 9=23-18=5. \] Обе части равны, значит \(x=9\) — корень. Другого быть не может.
Ответ: \(9\).
б) \(\dfrac{5}{x+1}=8\sqrt{x}\)
ОДЗ: \(x\ge 0\).
При \(x\ge 0\) функция \(\dfrac{5}{x+1}\) убывает, а \(8\sqrt{x}\) возрастает. Поэтому уравнение имеет не более одного корня.
Проверяем \(x=\dfrac14\): \[ \sqrt{x}=\frac12, \] \[ 8\sqrt{x}=8\cdot \frac12=4, \] \[ \frac{5}{\frac14+1}=\frac{5}{1{,}25}=4. \] Обе части равны.
Можно найти этот корень и заменой \(t=\sqrt{x}\): \[ \frac{5}{t^2+1}=8t \quad\Rightarrow\quad 8t^3+8t-5=0. \] Корень \(t=\frac12\) подходит, а после разложения \[ 8t^3+8t-5=(2t-1)(4t^2+2t+5) \] вторая скобка всегда положительна, поэтому других неотрицательных \(t\) нет. Значит, \[ x=t^2=\frac14. \]
Ответ: \(\dfrac14\).
Обсуждение
6 сообщенийнормально объясни
Хорошо, давай медленно и по шагам — без «строго возрастает» на полуслове.
Что нужно понять один раз
1. ОДЗ. Под корнем не может быть отрицательного числа, а в знаменателе — нуля. Поэтому в начале всегда выписываем, какие \(x\) вообще допустимы.
2. Главный приём. Если левая часть уравнения при увеличении \(x\) растёт, а правая уменьшается, то графики могут пересечься только один раз. То есть корень либо один, либо его нет. Значит, достаточно найти один подходящий \(x\) — и всё, больше искать не надо.
Почему это так: пусть нашлись два корня \(x_1<x_2\). Тогда левая часть в \(x_2\) больше, чем в \(x_1\), а правая — меньше. Но в обоих случаях части равны. Противоречие.
а) \(\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=23-2x\)
Шаг 1. ОДЗ. \[ x-5\ge 0 \Rightarrow x\ge 5. \]
Шаг 2. Где вообще может быть корень. Слева стоит сумма корней, она неотрицательна. Значит, и справа должно быть неотрицательно: \[ 23-2x\ge 0 \Rightarrow x\le 11{,}5. \] Так что ищем \(x\) только на отрезке \(5\le x\le 11{,}5\).
Шаг 3. Почему корень один. При увеличении \(x\) растут оба корня, то есть вся левая часть растёт. А \(23-2x\) при увеличении \(x\) уменьшается. Одно растёт, другое падает — пересечение только одно.
Шаг 4. Находим его подбором. Считаем обе части для целых \(x\) из ОДЗ:
| \(x\) | \(\sqrt{x}+\sqrt{x-5}\) | \(23-2x\) |
|---|---|---|
| 5 | \(2{,}24+0=2{,}24\) | 13 |
| 6 | \(2{,}45+1=3{,}45\) | 11 |
| 7 | \(2{,}65+1{,}41=4{,}06\) | 9 |
| 8 | \(2{,}83+1{,}73=4{,}56\) | 7 |
| 9 | \(3+2=5\) | 5 |
Слева было меньше, справа больше — а в \(x=9\) они сравнялись. Так как левая часть только растёт, а правая только убывает, больше совпадений не будет.
Проверка: \[ \sqrt9+\sqrt4=3+2=5,\qquad 23-18=5. \]
Ответ: \(x=9\).
б) \(\dfrac{5}{x+1}=8\sqrt{x}\)
Шаг 1. ОДЗ. Корень требует \(x\ge 0\), знаменатель требует \(x\ne -1\). Вместе: \(x\ge 0\). Но при \(x=0\) слева \(5\), справа \(0\) — не подходит, поэтому ищем при \(x>0\).
Шаг 2. Почему корень один. При увеличении \(x\) знаменатель \(x+1\) растёт, значит дробь \(\dfrac{5}{x+1}\) уменьшается. А \(8\sqrt{x}\) увеличивается. Опять «одно вниз, другое вверх» — корень не более один.
Шаг 3. Ищем его. Дробные значения удобно проверять там, где корень считается хорошо:
| \(x\) | \(\dfrac{5}{x+1}\) | \(8\sqrt{x}\) |
|---|---|---|
| \(0{,}1\) | \(4{,}55\) | \(2{,}53\) |
| \(0{,}25\) | \(4\) | \(4\) |
| \(1\) | \(2{,}5\) | \(8\) |
При \(x=0{,}1\) слева больше, при \(x=1\) уже меньше — значит, корень где-то между ними, и мы его нашли: \(x=0{,}25=\dfrac14\).
Проверка: \[ 8\sqrt{\tfrac14}=8\cdot \tfrac12=4,\qquad \frac{5}{\tfrac14+1}=\frac{5}{1{,}25}=4. \]
Шаг 4. Если хочется без подбора. Обозначим \(t=\sqrt{x}\ge 0\), тогда \(x=t^2\): \[ \frac{5}{t^2+1}=8t \;\Rightarrow\; 8t^3+8t-5=0. \] Корень \(t=\dfrac12\) виден, и многочлен раскладывается: \[ 8t^3+8t-5=(2t-1)(4t^2+2t+5). \] У второй скобки дискриминант \(4-80<0\), она всегда положительна, своих корней не даёт. Остаётся \(t=\dfrac12\), то есть \[ x=t^2=\frac14. \]
Ответ: \(x=\dfrac14\).
Общая схема для обоих пунктов: ОДЗ → понять, что корень один (одна часть растёт, другая убывает) → найти этот корень → проверить подстановкой.
8.26 аб
8.26. \(y=3x^2-24x-100\)
Это парабола, ветви вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(3>0\). Поэтому наименьшее значение может быть в вершине, а наибольшее — на концах промежутка.
Найдём вершину: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-24}{2\cdot 3}=4, \] \[ y(4)=3\cdot 4^2-24\cdot 4-100=48-96-100=-148. \] Вершина: \((4;-148)\).
а) На отрезке \([-1;5]\)
Вершина \(x=4\) принадлежит отрезку, значит: \[ y_{\text{наим}}=-148. \]
Сравним значения на концах: \[ y(-1)=3\cdot 1+24-100=-73, \] \[ y(5)=3\cdot25-120-100=-145. \] Наибольшее из них \(-73\).
Ответ:
\[
y_{\text{наиб}}=-73,\qquad y_{\text{наим}}=-148.
\]
б) На луче \((-\infty;0]\)
Вершина \(x=4\) на этот луч не попадает. До \(x=4\) парабола убывает, значит на всём луче \((-\infty;0]\) функция тоже убывает.
Поэтому:
- наименьшее значение — в правом конце \(x=0\): \[ y(0)=-100; \]
- наибольшего значения нет, так как при \(x\to -\infty\) функция неограниченно возрастает.
Ответ:
\[
y_{\text{наиб}}\text{ не существует},\qquad y_{\text{наим}}=-100.
\]
Итог:
а) наибольшее \(-73\), наименьшее \(-148\);
б) наибольшего нет, наименьшее \(-100\).
8.28 а
8.28 а) \(y=\dfrac{2}{x^2+1}\)
Так как \(x^2\ge 0\) при любом \(x\), то \[ x^2+1\ge 1. \] Значит, знаменатель не больше \(1\) не бывает. Поэтому дробь с числителем \(2\) принимает наибольшее значение, когда знаменатель наименьший: \[ \frac{2}{x^2+1}\le \frac21=2. \]
Равенство достигается при \[ x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=0. \]
Проверка: \[ y(0)=\frac{2}{0+1}=2. \]
Ответ: наибольшее значение функции равно \(2\).
