Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 81 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 73. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найди минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом Если найдено несколько значений S, в ответе укажи наименьшее из них.

Краткий ответ:
\[ S_{\min}=23. \]

1. Когда игрок может выиграть сразу

Для позиции \((a,b)\), пока сумма меньше 81, выиграть одним ходом можно тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно условие: \[ a+b\ge 80,\qquad 3a+b\ge 81,\qquad a+3b\ge 81. \] Первое означает, что можно добавить 1 камень и сразу получить не менее 81.

2. Важная «ловушка» \((8,24)\)

Позиция \((8,24)\) сама по себе не позволяет игроку, чей сейчас ход, выиграть сразу: \[ 8+24=32<80,\quad 3\cdot 8+24=48<81,\quad 8+3\cdot24=80<81. \] Но после любого хода из неё Ваня сможет закончить игру следующим ходом:

• \((9,24)\): \(9+3\cdot24=81\);
• \((8,25)\): \(8+3\cdot25=83\);
• \((24,24)\): \(3\cdot24+24=96\);
• \((8,72)\): сумма \(80\), Ваня добавляет 1 и получает 81.

То есть если Ваня успевает поставить \((8,24)\), он гарантированно выигрывает своим следующим ходом. Симметричная ловушка — \((24,8)\).

3. Ограничение на \(S\)

Если \(S\ge25\), Петя первым же ходом утраивает вторую кучу: \[ (7,S)\to(7,3S), \] и уже при \(S=25\) сумма \(7+75=82\ge81\). Значит, \(S\ge25\) не подходят.

Рассмотрим ход Пети «добавить 1 в первую кучу»: \[ (7,S)\to(8,S). \] При \(S\le24\) Ваня из \((8,S)\) ещё не может выиграть сразу. Чтобы успеть выиграть вторым ходом, ему нужно попасть в ловушку. Проверка четырёх ответов Вани даёт:

\[ \begin{array}{c|c} \text{ход Вани из }(8,S) & \text{условие}\\ \hline (8,S+1) & S=23 \quad(\text{получается }(8,24))\\ (24,S) & S=8 \quad(\text{получается }(24,8))\\ (8,3S) & S=8 \quad(\text{получается }(8,24))\\ (9,S) & \text{не даёт нужной ловушки при }S\le24 \end{array} \]

Значит, возможны только \[ S=8 \quad \text{или} \quad S=23. \]

4. Почему \(S=8\) не подходит

Если \(S=8\), Петя может сыграть \[ (7,8)\to(7,9), \] то есть добавить камень во вторую кучу.

Из \((7,9)\) у Вани есть такие варианты:

• \((8,9)\) — Петя отвечает \((9,9)\), и Ваня не может сразу выиграть;
• \((7,10)\) — Петя отвечает \((8,10)\), и Ваня не может сразу выиграть;
• \((21,9)\) — Петя отвечает \((22,9)\), и снова у Вани нет выигрыша одним ходом;
• \((7,27)\) — тогда Петя сам сразу выигрывает, утраивая вторую кучу: \[ 7+3\cdot27=88\ge81. \]

Значит, при \(S=8\) Ваня не может гарантировать победу первым или вторым своим ходом.

5. Проверка \(S=23\)

Начальная позиция: \[ (7,23). \]

Возможные первые ходы Пети:

1. \((8,23)\). Ваня играет: \[ (8,23)\to(8,24), \] попадая в ловушку, и выигрывает вторым ходом.

2. \((7,24)\). Ваня играет: \[ (7,24)\to(8,24), \] снова ловушка и победа вторым ходом.

3. \((21,23)\). Ваня сразу утраивает первую кучу: \[ 63+23=86\ge81, \] победа первым ходом.

4. \((7,69)\). Ваня сразу утраивает первую кучу: \[ 21+69=90\ge81, \] победа первым ходом.

То есть при \(S=23\) условие о победе первым или вторым ходом выполнено при любом первом ходе Пети.

При этом гарантировать победу именно первым ходом Ваня не может: если Петя сыграет \((7,23)\to(8,23)\), то из \((8,23)\) ни один ход Вани не даёт сразу 81 или больше. Например: \[ 8+3\cdot23=77<81. \]

Следовательно, минимальное подходящее значение: \[ \boxed{23}. \]