На полоске бумаги в ряд выписаны девять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Полоску разрезали пятью разрезами на шесть частей, причём разрез проходит между соседними цифрами. Каждая часть состоит из одной или нескольких идущих подряд цифр. Цифры каждой части образуют одно число. Найдите такое разбиение, чтобы сумма шести получившихся чисел была минимальной. Чем меньше будет сумма чисел в вашем ответе, тем больше баллов вы получите.
Краткий ответ:
\[
12\mid 34\mid 56\mid 7\mid 8\mid 9
\]
Сумма:
\[
12+34+56+7+8+9=126
\]
Это минимально возможная сумма.
Как понять решение
Если все цифры оставить отдельно, получится: \[ 1+2+\dots+9=45. \] Но нужно получить 6 частей из 9 цифр, значит, надо «склеить» цифры в трёх местах, то есть получить три двузначных числа и три однозначных.
Если склеить соседние цифры \(d\) и \(d+1\), то вместо \(d+(d+1)\) получим число \(10d+(d+1)\). Увеличение суммы: \[ 10d+(d+1)-\bigl(d+(d+1)\bigr)=9d. \] Значит, выгоднее всего, чтобы двузначные числа начинались с как можно меньших цифр. Но пары не должны пересекаться, поэтому нельзя взять начала \(1,2,3\). Самые маленькие возможные начала: \[ 1,\;3,\;5. \] Они дают пары \(12,\;34,\;56\).
Если бы какая-то часть была трёхзначной, самая маленькая возможная — \(123\). Уже только она увеличивает сумму на \[ 123-(1+2+3)=117, \] а весь выигрышный вариант с тремя двузначными числами даёт увеличение всего \[ 9(1+3+5)=81. \] Поэтому брать части длиннее двух цифр невыгодно.
Проверка: \[ 12+34+56+7+8+9=126. \]
Разрезы нужно сделать после цифр 2, 4, 6, 7, 8.
Обсуждение
3 сообщенияДай похожее задание с цифрами 1–8В клетках полоски бумаги записаны цифры: 5 2 1 3 8 7 4 9 6 Полоску разрезали пятью разрезами по клеточкам на шесть частей. Каждая часть состоит из одной или нескольких идущих подряд цифр. Цифры каждой части образуют одно число. Найдите такое разбиение, чтобы сумма шести получившихся чисел была минимальной. Чем меньше будет сумма чисел в вашем ответе, тем больше баллов вы получите. В ответе запишите шесть чисел — по одному на каждую часть, слева направо, в том же порядке, в котором части стоят на полоске. Разделяйте числа запятыми. Числа должны быть записаны в том же порядке, в котором они следуют на полоске.
Ответ:
\[
5,\ 21,\ 38,\ 7,\ 49,\ 6
\]
Сумма: \[ 5+21+38+7+49+6=126 \]
Разбиение: \[ 5\mid 21\mid 38\mid 7\mid 49\mid 6 \]
Почему так: из 9 цифр нужно получить 6 чисел, значит, требуется ровно 3 «склейки». Выгоднее всего склеить пары, начинающиеся с небольших цифр: \(2|1\), \(3|8\), \(4|9\). Они увеличивают сумму цифр \(45\) на \[ 9\cdot2+9\cdot3+9\cdot4=18+27+36=81, \] итого \(45+81=126\). Если делать трёхзначную часть, прибавка будет уже не меньше \(126\), то есть суммарно хуже.
В каждой строке и в каждом столбце квадрата 3 × 3 числа должны располагаться либо по возрастанию слева направо (сверху вниз), либо по убыванию. При этом в одной строке (столбце) числа могут идти по возрастанию, а в другой строке (столбце) — по убыванию. Расставьте числа от 1 до 9, каждое ровно один раз, так, чтобы их сумма в четырёх углах квадрата была как можно большей. В ответе запишите три строки, каждая строка должна содержать по три числа, все числа от 1 до 9 должны встречаться ровно по одному разу. Числа в строках разделяйте пробелом. Чем больше сумма чисел в углах квадрата, тем больше баллов вы получите.
