Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это самостоятельное новое задание: в истории не было предыдущей учебной задачи, поэтому продолжаю как с новой контрольной работой по геометрии.

Решение

1. Даны стороны \(6\) см и \(8\) см, угол между ними \(60^\circ\).
По теореме косинусов: \[ c^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 60^\circ =36+64-48=52 \] \[ c=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\text{ см} \] Площадь: \[ S=\frac12\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 60^\circ =24\cdot \frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3\text{ см}^2 \]

Ответ: третья сторона \(2\sqrt{13}\) см, площадь \(12\sqrt3\) см².

2. В треугольнике \(ABC\): \(AB=3\sqrt2\) см, \(\angle C=45^\circ\), \(\angle A=120^\circ\).
По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C} \] \[ BC=AB\cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} =3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2} =3\sqrt3\text{ см} \]

Ответ: \(BC=3\sqrt3\) см.

3. Стороны \(7\), \(10\), \(13\) см. Проверяем наибольшую сторону: \[ 13^2=169,\qquad 7^2+10^2=49+100=149 \] Так как \(169>149\), треугольник тупоугольный.

Ответ: тупоугольный.

4. Пусть одна сторона \(x\) см, тогда другая \(x+8\) см. Угол между ними \(120^\circ\), третья сторона \(28\) см.
По теореме косинусов: \[ 28^2=x^2+(x+8)^2-2x(x+8)\cos120^\circ \] Учитывая \(\cos120^\circ=-\frac12\): \[ 784=x^2+(x+8)^2+x(x+8) \] \[ 784=3x^2+24x+64 \] \[ 3x^2+24x-720=0 \] \[ x^2+8x-240=0 \] \[ x=12 \] Стороны: \(12\) см, \(20\) см, \(28\) см.
Периметр: \[ P=12+20+28=60\text{ см} \]

Ответ: \(60\) см.

5. Даны стороны \(6\) см и \(8\) см, медиана к третьей стороне \(c\) равна \(\sqrt{41}\) см.
Формула медианы: \[ m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \] \[ \sqrt{41}=\frac12\sqrt{2\cdot 6^2+2\cdot 8^2-c^2} \] \[ 41=\frac{200-c^2}{4} \] \[ 164=200-c^2 \] \[ c^2=36 \] \[ c=6\text{ см} \]

Ответ: \(6\) см.

Оформляю каждую задачу с блоками «Дано» и «Найти».

Задача 1

Дано:
\(a=6\) см, \(b=8\) см, угол между ними \(\gamma=60^\circ\).

Найти:
третью сторону \(c\), площадь \(S\).

Решение:
По теореме косинусов: \[ c^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cos60^\circ=36+64-48=52 \] \[ c=2\sqrt{13}\text{ см} \] Площадь: \[ S=\frac12 ab\sin\gamma=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3\text{ см}^2 \]

Ответ: \(c=2\sqrt{13}\) см; \(S=12\sqrt3\) см².

Задача 2

Дано:
\(\triangle ABC\), \(AB=3\sqrt2\) см, \(\angle C=45^\circ\), \(\angle A=120^\circ\).

Найти:
\(BC\).

Решение:
По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C} \] \[ BC=3\sqrt2\cdot\frac{\sin120^\circ}{\sin45^\circ} =3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=3\sqrt3\text{ см} \]

Ответ: \(BC=3\sqrt3\) см.

Задача 3

Дано:
стороны треугольника \(7\) см, \(10\) см, \(13\) см.

Определить:
вид треугольника по углам.

Решение:
Проверяем наибольшую сторону: \[ 13^2=169,\qquad 7^2+10^2=49+100=149 \] Так как \(169>149\), то \[ 13^2>7^2+10^2 \] Значит, угол напротив стороны \(13\) см тупой.

Ответ: треугольник тупоугольный.

Задача 4

Дано:
две стороны треугольника равны \(x\) см и \(x+8\) см, угол между ними \(120^\circ\), третья сторона \(28\) см.

Найти:
периметр \(P\).

Решение:
По теореме косинусов: \[ 28^2=x^2+(x+8)^2-2x(x+8)\cos120^\circ \] Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\): \[ 784=x^2+(x+8)^2+x(x+8) \] \[ 3x^2+24x+64=784 \] \[ 3x^2+24x-720=0 \] \[ x^2+8x-240=0 \] \[ x=12 \] Стороны треугольника: \[ 12,\quad 20,\quad 28\text{ см} \] Периметр: \[ P=12+20+28=60\text{ см} \]

Ответ: \(P=60\) см.

Задача 5

Дано:
две стороны треугольника \(6\) см и \(8\) см, медиана к третьей стороне \(m_c=\sqrt{41}\) см.

Найти:
третью сторону \(c\).

Решение:
Формула медианы: \[ m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \] Подставляем: \[ \sqrt{41}=\frac12\sqrt{2\cdot6^2+2\cdot8^2-c^2} \] \[ 41=\frac{200-c^2}{4} \] \[ 164=200-c^2 \] \[ c^2=36 \] \[ c=6\text{ см} \]

Ответ: \(c=6\) см.

Задача 4 — через «пусть \(x\)»

Дано:
две стороны треугольника отличаются на \(8\) см; угол между ними \(120^\circ\); третья сторона равна \(28\) см.

Найти: периметр треугольника.

Решение:

Пусть меньшая из двух сторон равна \(x\) см.
Тогда вторая сторона равна \(x+8\) см.

Угол между ними \(120^\circ\), а противолежащая сторона \(28\) см. По теореме косинусов:

\[ 28^2=x^2+(x+8)^2-2x(x+8)\cos120^\circ \]

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), то:

\[ 784=x^2+(x+8)^2+x(x+8) \]

Раскрываем скобки:

\[ 784=x^2+x^2+16x+64+x^2+8x \]

\[ 784=3x^2+24x+64 \]

\[ 3x^2+24x-720=0 \]

Разделим на \(3\):

\[ x^2+8x-240=0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D=8^2-4\cdot1\cdot(-240)=64+960=1024 \]

\[ x=\frac{-8+\sqrt{1024}}{2}=\frac{-8+32}{2}=12 \]

Значит, \(x=12\) см.

Тогда стороны треугольника:

\[ 12\text{ см},\quad 12+8=20\text{ см},\quad 28\text{ см} \]

Периметр:

\[ P=12+20+28=60\text{ см} \]

Ответ: \(P=60\) см.