Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(\vec n=(-1;6)\), \(|\vec n|=\sqrt{37}\), \(\vec n=-\vec i+6\vec j\).
2. \(ABCD\) — параллелограмм; \(P=10\sqrt{13}\).
3. \(m=6\), если \(\overline{CD}\) и \(\overline{DF}\) обозначают векторы.

---

№ 1

Координаты вектора при умножении на число и вычитании меняются покоординатно.

\[ \frac13\vec b=\left(\frac93;\frac{-9}{3}\right)=(3;-3) \]

Тогда

\[ \vec n=\vec a-\frac13\vec b=(2;3)-(3;-3)=(-1;6) \]

Значит, координаты \(\vec n\):

\[ \boxed{\vec n=(-1;6)} \]

Длина вектора:

\[ |\vec n|=\sqrt{(-1)^2+6^2}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37} \]

\[ \boxed{|\vec n|=\sqrt{37}} \]

Разложение по координатным векторам:

\[ \boxed{\vec n=-1\cdot\vec i+6\cdot\vec j} \]

Потому что \(\vec i=(1;0)\), \(\vec j=(0;1)\), то есть первая координата — коэффициент при \(\vec i\), вторая — при \(\vec j\).

---

№ 2

Координаты вектора по двум точкам находятся так:

\[ \overrightarrow{PQ}=Q-P \]

Найдём стороны-векторы:

\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(0-(-6);5-1)=(6;4) \]

\[ \overrightarrow{DC}=C-D=(6-0;-4-(-8))=(6;4) \]

Значит,

\[ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \]

То есть стороны \(AB\) и \(DC\) равны и параллельны.

Аналогично:

\[ \overrightarrow{BC}=C-B=(6-0;-4-5)=(6;-9) \]

\[ \overrightarrow{AD}=D-A=(0-(-6);-8-1)=(6;-9) \]

Значит,

\[ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD} \]

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон равны и параллельны, поэтому

\[ \boxed{ABCD\text{ — параллелограмм}} \]

Теперь периметр. Длины соседних сторон:

\[ AB=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13} \]

\[ BC=\sqrt{6^2+(-9)^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13} \]

У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому

\[ P=2(AB+BC)=2(2\sqrt{13}+3\sqrt{13})=2\cdot5\sqrt{13}=10\sqrt{13} \]

\[ \boxed{P=10\sqrt{13}} \]

---

№ 3

Если \(\overline{CD}\) и \(\overline{DF}\) — векторы, то у равных векторов совпадают обе координаты.

\[ \overrightarrow{CD}=D-C=(4-m;1-3)=(4-m;-2) \]

\[ \overrightarrow{DF}=F-D=(2-4;-1-1)=(-2;-2) \]

Приравниваем координаты:

\[ \begin{cases} 4-m=-2\\ -2=-2 \end{cases} \]

Отсюда:

\[ 4-m=-2 \]

\[ m=6 \]

Проверка: при \(m=6\)

\[ \overrightarrow{CD}=(-2;-2),\qquad \overrightarrow{DF}=(-2;-2) \]

Векторы действительно равны.

\[ \boxed{m=6} \]

Если же в вашей записи \(\overline{CD}\) означает не вектор, а длину отрезка, то из \(|CD|=|DF|\) получается:

\[ (4-m)^2+4=8 \]

\[ (4-m)^2=4 \]

\[ m=2 \quad\text{или}\quad m=6 \]

Но при стандартном для этой контрольной равенстве векторов ответ один: \(\boxed{m=6}\).