Каждый номер напиши кратко четко понятно и к каждому действию теорему по которой делал
\(x\) — прилежащий катет; противолежащий \(x\sqrt3\) (тангенс \(60^\circ\)). \(\frac12 x\cdot x\sqrt3=8\sqrt3\) (площадь треугольника) ⇒ \(x=4\). Ответ: 4.
\(\angle C=180^\circ-61^\circ=119^\circ\) (противоположные углы вписанного четырёхугольника). Ответ: \(119^\circ\).
\(\angle AOB=2\angle ACB=106^\circ\) (теорема о вписанном угле). \(OD\) — продолжение \(OB\), поэтому \(\angle AOD=180^\circ-106^\circ=74^\circ\) (смежные углы). Ответ: \(74^\circ\).
Радиусы \(OA\perp PA\), \(OB\perp PB\) (теорема о касательной). В четырёхугольнике \(OAPB\): \(\angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-52^\circ=128^\circ\). В равнобедренном \(\triangle AOB\): \(\angle ABO=(180^\circ-128^\circ)/2=26^\circ\) (свойство равнобедренного треугольника). Ответ: \(26^\circ\).
\(r=5\sqrt3\). В равностороннем треугольнике \(r=\frac{a\sqrt3}{6}\) (центр совпадает с точкой пересечения медиан). \(a=30\). Ответ: 30.
\(OA=OB\), поэтому \(\angle AOB=180^\circ-2\cdot70^\circ=40^\circ\) (равнобедренный треугольник). \(\angle COD=\angle AOB=40^\circ\) (вертикальные углы). \(OC=OD\), поэтому \(\angle OCD=(180^\circ-40^\circ)/2=70^\circ\). Ответ: \(70^\circ\).
Сторона квадрата \(a=2r=8\) (радиус к точке касания перпендикулярен стороне). \(S=a^2=64\) (площадь квадрата). Ответ: 64.
\(AB=56+9=65\). Касательная перпендикулярна радиусу, поэтому \(x^2=AB^2-r^2=65^2-56^2\) (теорема Пифагора). \(x=33\). Ответ: 33.
Высота — расстояние между параллельными касательными: \(h=2r=36\) (радиус к касательной перпендикулярен). Ответ: 36.
Центр на \(AB\) ⇒ \(AB\) — диаметр, \(\angle ACB=90^\circ\) (угол, опирающийся на диаметр). \(AB=2R=41\). \(BC=\sqrt{41^2-9^2}=40\) (теорема Пифагора). Ответ: 40.
Диагональ прямоугольника — диаметр описанной окружности: \(d=10\) (центр описанной окружности — середина диагонали). \(\sin\alpha=\frac{b}{d}=0,6\) ⇒ \(b=6\) (определение синуса). \(a=\sqrt{10^2-6^2}=8\) (Пифагор). \(S=ab=48\). Ответ: 48.
Угол между касательной и хордой равен половине дуги \(AB\) (теорема об угле между касательной и хордой). Угол острый ⇒ \(\angle ABC=\frac{152^\circ}{2}=76^\circ\). Ответ: \(76^\circ\).
\(O\) — пересечение диагоналей. \(OC=15\), \(OB\perp OC\) (диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам). \(\tg\angle BCO=\frac{BO}{OC}=\frac43\) ⇒ \(BO=20\). \(BC=\sqrt{15^2+20^2}=25\) (Пифагор). \(BD=40\), \(S=\frac12\cdot30\cdot40=600\) (площадь ромба через диагонали). \(p=50\), \(r=\frac{S}{p}=12\) (площадь описанного многоугольника \(S=pr\)). Ответ: 12.
\(C\) и \(O\) в одной полуплоскости ⇒ \(C\) на большей дуге \(AB\). По теореме о вписанном угле \(\angle ACB=\frac12\angle AOB=\frac{73^\circ}{2}=36,5^\circ\). Ответ: \(36,5^\circ\).
По теореме синусов: \(a=2R\sin60^\circ=2\cdot5\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=15\). Ответ: 15.
Теорема о касательной и секущей: \(AK^2=AB\cdot AC=2\cdot8=16\), \(AK=4\). Ответ: 4.
Обсуждение
2 сообщенияПронумируй правильно
Похоже, Markdown сбил нумерацию. Вот те же решения с явными номерами:
№1. \(x\) — прилежащий катет, противолежащий \(x\sqrt3\) (тангенс \(60^\circ\)). \(\frac12 x\cdot x\sqrt3=8\sqrt3\) (площадь треугольника) ⇒ \(x=4\). Ответ: 4.
№2. \(\angle C=180^\circ-61^\circ=119^\circ\) (противоположные углы вписанного четырёхугольника). Ответ: \(119^\circ\).
№3. \(\angle AOB=2\angle ACB=106^\circ\) (теорема о вписанном угле). \(\angle AOD=180^\circ-106^\circ=74^\circ\) (смежные углы). Ответ: \(74^\circ\).
№4. \(OA\perp PA\), \(OB\perp PB\) (радиус к касательной). В \(OAPB\): \(\angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-52^\circ=128^\circ\). В равнобедренном \(\triangle AOB\): \(\angle ABO=(180^\circ-128^\circ)/2=26^\circ\) (свойство равнобедренного треугольника). Ответ: \(26^\circ\).
№5. \(r=5\sqrt3\). В равностороннем треугольнике \(r=\frac{a\sqrt3}{6}\) (центр — точка пересечения медиан). \(a=30\). Ответ: 30.
№6. \(OA=OB\), значит \(\angle AOB=180^\circ-2\cdot70^\circ=40^\circ\) (равнобедренный треугольник). \(\angle COD=\angle AOB=40^\circ\) (вертикальные углы). \(OC=OD\), поэтому \(\angle OCD=(180^\circ-40^\circ)/2=70^\circ\). Ответ: \(70^\circ\).
№7. Сторона квадрата \(a=2r=8\) (радиус к касательной перпендикулярен стороне). \(S=a^2=64\) (площадь квадрата). Ответ: 64.
№8. \(AB=56+9=65\). Касательная \(\perp\) радиусу, поэтому \(x^2=AB^2-r^2=65^2-56^2\) (теорема Пифагора). \(x=33\). Ответ: 33.
№9. Высота равна расстоянию между параллельными касательными: \(h=2r=36\) (радиус к касательной \(\perp\)). Ответ: 36.
№10. \(AB\) — диаметр, значит \(\angle ACB=90^\circ\) (угол, опирающийся на диаметр). \(AB=2R=41\). \(BC=\sqrt{41^2-9^2}=40\) (теорема Пифагора). Ответ: 40.
№11. Диагональ прямоугольника — диаметр описанной окружности: \(d=10\) (центр описанной окружности — середина диагонали). \(\sin\alpha=\frac{b}{d}=0,6\) ⇒ \(b=6\) (определение синуса). \(a=\sqrt{10^2-6^2}=8\) (Пифагор). \(S=ab=48\). Ответ: 48.
№12. Угол между касательной и хордой равен половине дуги \(AB\) (теорема об угле между касательной и хордой). Угол острый ⇒ \(\angle ABC=\frac{152^\circ}{2}=76^\circ\). Ответ: \(76^\circ\).
№13. \(O\) — пересечение диагоналей. \(OC=15\), \(OB\perp OC\) (диагонали ромба взаимно перпендикулярны). \(\tg\angle BCO=\frac{BO}{OC}=\frac43\) ⇒ \(BO=20\). \(BC=\sqrt{15^2+20^2}=25\) (Пифагор). \(BD=40\), \(S=\frac12\cdot30\cdot40=600\) (площадь ромба через диагонали). \(p=50\), \(r=\frac{S}{p}=12\) (площадь описанного многоугольника \(S=pr\)). Ответ: 12.
№14. \(C\) на большей дуге \(AB\), поэтому \(\angle ACB=\frac12\angle AOB=\frac{73^\circ}{2}=36,5^\circ\) (теорема о вписанном угле). Ответ: \(36,5^\circ\).
№15. По теореме синусов: \(a=2R\sin60^\circ=2\cdot5\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=15\). Ответ: 15.
№16. Теорема о касательной и секущей: \(AK^2=AB\cdot AC=2\cdot8=16\), \(AK=4\). Ответ: 4.
