Конспект
Конспект: Системы счисления
- Система счисления — способ записи чисел с помощью цифр/знаков.
- Непозиционная — значение цифры не зависит от её позиции в записи. Знаки можно располагать в любом порядке.
- Римская система — непозиционная. Узловые числа:
\(1-I,\ 5-V,\ 10-X,\ 50-L,\ 100-C,\ 500-D,\ 1000-M\).- Меньший знак слева от большего — вычитается, справа — прибавляется.
- Примеры: \(IX=9,\ XI=11,\ XCIX=(100-10)+(10-1)=99\).
- Одну цифру пишут не более 3 раз подряд; числа от 1 до 3999 записывают по разрядам: тысячи, сотни, десятки, единицы.
- Алфавитные системы — числа обозначали буквами алфавита: греческая (\(\alpha=1,\ \beta=2\ldots\)), славянская («аз»=1, «веди»=2 и т. д.).
- Римские цифры используют и сейчас: для дат, номеров часов и др.
Обсуждение
7 сообщенийконспект
Конспект (с. 9–10)
Славянская алфавитная нумерация
- Цифры обозначались буквами; над числом ставилось титло.
- Пример: числа 55, 288, 1, 498 записаны так, что читаются как фраза «НЕ СПИ, А УЧИ».
- Для тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч использовали те же буквы, но с особыми знаками.
- В России применялась до конца XVII в.; при Петре I её заменила арабская нумерация. Славянская сохранилась в богослужебных книгах.
Позиционная система счисления
- Значение цифры зависит от её позиции (разряда) в записи числа.
- Достоинства: простота арифметических действий и ограниченное число символов для записи любых чисел.
Десятичная система — пример позиционной:
- алфавит: цифры \(0,1,2,\dots,9\);
- основание — \(10\);
- вес разряда — степень десятки:
\[ 355 = 3\cdot100 + 5\cdot10 + 5\cdot1 \] - одинаковые цифры в соседних разрядах различаются по значению в 10 раз;
- число образуется умножением цифр на веса разрядов и сложением произведений;
- арифметика опирается на таблицы сложения и умножения и правило переноса: если сумма цифр \(\ge 10\), результат записывается несколькими цифрами в соседних разрядах.
конспект
Конспект §1.1 «Общие сведения о системах счисления» (с. 11–12)
1. Из истории
- Вавилон — шестидесятеричная нумерация; Индия (V–VII вв.) — введение нуля для пропуска разрядов.
- Арабы освоили индийскую нумерацию и принесли её в Европу → арабская (десятичная) система вытеснила остальные.
2. Позиционная система счисления
- Задаётся основанием \(q\) — целым числом \(q>1\).
- Алфавит: цифры \(0,1,\dots,q-1\), каждой цифре — один уникальный символ; младшая цифра всегда \(0\).
- Любое целое неотрицательное число записывается в развёрнутой форме: \[ A_q=a_{n-1}\cdot q^{n-1}+a_{n-2}\cdot q^{n-2}+\dots+a_0\cdot q^0 \] где \(A\) — число, \(q\) — основание, \(a_i\) — цифры, \(n\) — число разрядов, \(q^i\) — вес \(i\)-го разряда.
- Свёрнутая форма — запись вида \(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_0\).
Пример: \(4351=4\cdot10^3+3\cdot10^2+5\cdot10^1+1\cdot10^0\).
3. Перевод в десятичную систему Правило: записать число в развёрнутой форме и вычислить значение выражения.
Пример: \(1423_5=1\cdot5^3+4\cdot5^2+2\cdot5^1+3\cdot5^0=125+100+10+3=238_{10}\).
Самое главное
- Система счисления — знаковая система, определяющая правила записи чисел; знаки — цифры, их набор — алфавит.
- Непозиционная — значение цифры не зависит от позиции.
- Позиционная — значение цифры зависит от позиции (разряда); определяется основанием \(q\), алфавит \(0,\dots,q-1\).
номер 6,8
№ 6. Развёрнутая форма
а) \(143511_{10}=1\cdot10^5+4\cdot10^4+3\cdot10^3+5\cdot10^2+1\cdot10^1+1\cdot10^0\)
б) \(143511_8=1\cdot8^5+4\cdot8^4+3\cdot8^3+5\cdot8^2+1\cdot8^1+1\cdot8^0\)
в) \(143511_{16}=1\cdot16^5+4\cdot16^4+3\cdot16^3+5\cdot16^2+1\cdot16^1+1\cdot16^0\)
№ 8
Переведём числа в десятичную систему:
\[ 110011_2=32+16+2+1=51 \] \[ 111_4=16+4+1=21 \] \[ 35_8=24+5=29 \] \[ 16_{16}=16+6=22 \]
а) наибольшее: \(110011_2\)
б) наименьшее: \(111_4\)
