Задача 22

Краткий ответ:
\(m=4\) и \(m=\dfrac{13}{3}\).

График функции — гипербола \(y=4-\dfrac1x\) с выколотой точкой \(\left(-3;\dfrac{13}{3}\right)\); её асимптоты: \(x=0\) и \(y=4\).

Как получить график

1. Найдём область определения: \[ x^2+3x=x(x+3)\ne0, \] поэтому \[ x\ne0,\qquad x\ne-3. \]

2. При \(x\ne-3\): \[ \frac{x+3}{x^2+3x} =\frac{x+3}{x(x+3)} =\frac1x. \] Значит, \[ y=4-\frac1x \] при \(x\ne-3,\ x\ne0\).

То есть график — это график \(y=-\frac1x\), сдвинутый на \(4\) единицы вверх.

3. Точка \(x=-3\) в исходной функции не существует, хотя после сокращения получилось бы \[ y=4-\frac1{-3}=4+\frac13=\frac{13}{3}. \] Поэтому на графике в точке \(\left(-3;\frac{13}{3}\right)\) надо нарисовать «выколотую» точку.

4. Прямая \(y=m\) не имеет общих точек с графиком в двух случаях.

• Если \(m=4\), то решаем: \[ 4-\frac1x=4 \quad\Rightarrow\quad -\frac1x=0, \] решений нет. Это горизонтальная асимптота.

• Если \(m=\frac{13}{3}\), то формально \[ 4-\frac1x=\frac{13}{3} \quad\Rightarrow\quad -\frac1x=\frac13 \quad\Rightarrow\quad x=-3. \] Но \(x=-3\) не входит в область определения — там выколотая точка. Значит, общих точек тоже нет.

Проверка: при всех остальных \(m\) уравнение \[ 4-\frac1x=m \] даёт \[ x=\frac1{4-m}, \] и эта точка допустима, кроме случая \(x=-3\), который как раз соответствует \(m=\frac{13}{3}\).