Реши все

Подробно по каждому пункту.

1. Наименьшая сторона треугольника

Даны два угла треугольника: \[ \angle A=110^\circ,\qquad \angle B=55^\circ. \]

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \[ \angle C=180^\circ-110^\circ-55^\circ=15^\circ. \]

В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона. Наименьший угол — \(\angle C=15^\circ\), против него лежит сторона \(AB\).

Ответ: \(AB\).

2. Третья сторона и периметр

Даны две стороны \(3\) см и \(5\) см, а угол между ними \(120^\circ\). Пусть третья сторона равна \(x\).

По теореме косинусов: \[ x^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ. \]

Так как \[ \cos120^\circ=-\frac12, \] получаем: \[ x^2=9+25-30\cdot\left(-\frac12\right) =9+25+15=49. \] Значит, \[ x=7\text{ см}. \]

Периметр: \[ P=3+5+7=15\text{ см}. \]

Ответ: \(7\) см; \(P=15\) см.

3. Стороны треугольника по теореме синусов

В треугольнике \[ \angle A=45^\circ,\qquad \angle B=30^\circ,\qquad \angle C=105^\circ, \] причём \(2R=8\): если \(AC=4\), то \[ 2R=\frac{AC}{\sin B}=\frac{4}{\sin30^\circ} =\frac{4}{\frac12}=8. \]

По теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=2R. \]

Тогда: \[ BC=2R\sin45^\circ =8\cdot\frac{\sqrt2}{2}=4\sqrt2\text{ см}. \]

\[ AC=2R\sin30^\circ =8\cdot\frac12=4\text{ см}. \]

\[ AB=2R\sin105^\circ. \] Так как \[ \sin105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ) =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}, \] то \[ AB=8\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} =2(\sqrt6+\sqrt2)\text{ см}. \]

Ответ: \[ AB=2(\sqrt6+\sqrt2)\text{ см},\qquad BC=4\sqrt2\text{ см},\qquad AC=4\text{ см}. \]

4. Диагонали параллелограмма

Стороны параллелограмма: \[ a=10\text{ см},\qquad b=16\text{ см}, \] угол между ними: \[ \alpha=60^\circ. \]

Диагонали параллелограмма находятся по формулам: \[ d_1^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha, \] \[ d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha. \]

Сначала: \[ a^2+b^2=10^2+16^2=100+256=356, \] \[ 2ab\cos60^\circ=2\cdot10\cdot16\cdot\frac12=160. \]

Тогда: \[ d_1^2=356+160=516=4\cdot129, \] \[ d_1=2\sqrt{129}\text{ см}. \]

И: \[ d_2^2=356-160=196, \] \[ d_2=14\text{ см}. \]

Ответ: \[ d_1=2\sqrt{129}\text{ см},\qquad d_2=14\text{ см}. \]

5. Биссектриса другого острого угла

Пусть в прямоугольном треугольнике \(ABC\): \[ \angle C=90^\circ,\qquad \angle A=\beta,\qquad AB=c. \] Тогда второй острый угол: \[ \angle B=90^\circ-\beta. \]

Проведём биссектрису \(BL\) угла \(B\). Тогда \[ \angle ABL=\frac{90^\circ-\beta}{2} =45^\circ-\frac{\beta}{2}. \]

В треугольнике \(ABL\): \[ \angle BAL=\beta, \] поэтому \[ \angle ALB=180^\circ-\beta-\left(45^\circ-\frac{\beta}{2}\right) =135^\circ-\frac{\beta}{2}. \]

По теореме синусов: \[ \frac{BL}{\sin\beta} = \frac{AB}{\sin\left(135^\circ-\frac{\beta}{2}\right)}. \] Так как \(AB=c\), то \[ BL=\frac{c\sin\beta}{\sin\left(135^\circ-\frac{\beta}{2}\right)}. \]

Но \[ \sin\left(135^\circ-\frac{\beta}{2}\right) = \sin\left(45^\circ+\frac{\beta}{2}\right) = \cos\left(45^\circ-\frac{\beta}{2}\right). \]

Следовательно, \[ \boxed{ l=\frac{c\sin\beta}{\cos\left(45^\circ-\frac{\beta}{2}\right)} } \] где \(l\) — биссектриса угла \(90^\circ-\beta\).