Краткий ответ
Не все слова в группах однокоренные. Выписать нужно так:
нож, ножик, ножище — корень -нож-.
«Ножка» — лишнее: она связана по смыслу со словом нога, а не с ножом.вскоре, скорый, скоро — корень -скор-.
«Быстрый» — близкое по смыслу слово, но корень другой: -быстр-.вода, водица — корень -вод-.
«(У) воды», «(к) воде» — это не отдельные однокоренные слова, а формы одного слова «вода»: меняется только окончание.гусь, гусёнок, гусята — корень -гус-.
«Гусеница» не связана по смыслу с гусём, поэтому она лишняя.
Как рассуждать
Однокоренные слова должны иметь общий корень и быть близкими по смыслу. Поэтому мало одинаковых букв: важно, что слова действительно связаны по значению.
Например: нож — ножик — ножище — все про нож. А ножка — про ногу или опору, значит, к этой группе не подходит.
Проверка: во всех выписанных группах есть общий корень и общее значение; «лишние» слова либо имеют другой корень, либо являются формами одного и того же слова.