Реши задание на изображении
Кратко: нужно доказать, что \(AB=CD\), то есть трапеция равнобедренная.
Ключевые шаги:
В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(P\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\). Значит, \(MP\) — средняя линия треугольника: \[ MP=\frac{AC}{2}. \]
В треугольнике \(BCD\) точки \(P\) и \(K\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\). Значит, \(PK\) — средняя линия: \[ PK=\frac{BD}{2}. \]
По условию \(MP=PK\). Тогда \[ \frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}\quad\Rightarrow\quad AC=BD. \] То есть диагонали трапеции равны.
В трапеции из равенства диагоналей следует равенство боковых сторон. Можно коротко обосновать так: проведём \(CE\parallel BD\) до пересечения с прямой \(AD\) в точке \(E\). Тогда \(BCED\) — параллелограмм, поэтому \(CE=BD=AC\). В треугольнике \(ACE\) углы при основании равны, откуда \(\angle CAD=\angle BDA\). Треугольники \(CAD\) и \(BDA\) равны по двум сторонам и углу между ними, значит, \[ CD=AB. \]
Проверка: цепочка выводов согласуется с признаком равнобедренной трапеции: равные диагонали \(\Rightarrow\) равные боковые стороны.
Обсуждение
4 сообщенияДоказательство
В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(P\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит, \(MP\) — средняя линия. Поэтому \[ MP=\frac{AC}{2}. \]
В треугольнике \(ABD\) точки \(M\) и \(K\) — середины сторон \(AB\) и \(AD\), значит, \(MK\) — средняя линия. Поэтому \[ MK=\frac{BD}{2}. \]
По условию \(MP=MK\). Следовательно, \[ \frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}\quad\Rightarrow\quad AC=BD. \] То есть диагонали трапеции равны.
Известно, что трапеция с равными диагоналями является равнобедренной, поэтому её боковые стороны равны: \[ AB=CD. \]
Можно проверить и так: опустить высоты \(BE\) и \(CF\) на \(AD\). Тогда \(BE=CF\), \(EF=BC\). Из \(AC=BD\) по теореме Пифагора получаем \(AE=FD\), значит, прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\) равны по двум катетам. Отсюда \(AB=CD\).
Что и требовалось доказать.
номер 10
№ 10
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\). По рисунку \(M\), \(P\), \(K\) — середины сторон \(AB\), \(BC\), \(AD\), причём \(MP=MK\).
Доказать: \(AB=CD\).
Доказательство:
В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MP\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит, это средняя линия: \[ MP=\frac{AC}{2}. \]
В треугольнике \(ABD\) отрезок \(MK\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(AD\), значит, это тоже средняя линия: \[ MK=\frac{BD}{2}. \]
По условию \(MP=MK\). Поэтому \[ \frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}\quad\Rightarrow\quad AC=BD. \] Следовательно, диагонали трапеции равны.
Трапеция с равными диагоналями является равнобедренной, поэтому её боковые стороны равны: \[ AB=CD. \]
Что и требовалось доказать.
