построить графический
Ответы (корни — это абсциссы точек пересечения графиков):
| № | Какие графики строим | Корень |
|---|---|---|
| 1 | \(y=(\tfrac13)^x\), \(y=x+1\) | \(x=0\) |
| 2 | \(y=(\tfrac12)^x\), \(y=x-\tfrac12\) | \(x=1\) |
| 3 | \(y=2^x\), \(y=-x-\tfrac74\) | \(x=-2\) |
| 4 | \(y=3^x\), \(y=11-x\) | \(x=2\) |
| 5 | \(y=2^x\), \(y=3-2x-x^2\) | \(x\approx-2{,}97\) и \(x\approx0{,}58\) |
| 6 | \(y=3^{-x}\), \(y=\sqrt{x}\), \(x\ge0\) | \(x\approx0{,}41\) |
| 7 | \(y=(\tfrac13)^x\), \(y=-\tfrac3x\) | \(x=-1\) |
| 8 | \(y=(\tfrac12)^x\), \(y=x^3-1\) | \(x\approx1{,}13\) |
Как это делается.
Строим в одной системе координат два графика: левую и правую части уравнения. Точки их пересечения имеют координаты \((x_0;y_0)\), и в ответ записываем именно \(x_0\).
Например, для №1:
\[ \begin{array}{c|ccc} x & -1 & 0 & 1\\ \hline (\tfrac13)^x & 3 & 1 & \tfrac13\\ x+1 & 0 & 1 & 2 \end{array} \]
Графики пересекаются в точке \((0;1)\), значит \(x=0\). Левая функция убывает, правая возрастает, поэтому других пересечений нет.
В №5 график \(y=3-2x-x^2\) — парабола ветвями вниз, она пересекает экспоненту дважды, поэтому корня два. В №6 важен ОДЗ: \(x\ge0\). В №7 при \(x>0\) правая часть отрицательна, поэтому рассматриваем \(x<0\).
Проверка выполняется подстановкой: например, в №4 \(3^2=9\) и \(11-2=9\) — верно. Для приближённых корней подставляем и получаем равенство с точностью до сотых.
Обсуждение
2 сообщения1.3.5.7 графики графические рисовать
Для № 1, 3, 5, 7 — ниже точки для построения. В каждой таблице \(x\) общий, \(y_1\) — левая часть уравнения, \(y_2\) — правая. Наносишь оба графика в одной системе координат и отмечаешь точки пересечения. Масштаб удобно брать \(1\) клетка \(=1\); для №1 и №7 по \(y\) можно взять \(1\) клетка \(=2\), чтобы поместились большие значения.
№1. \(\left(\frac13\right)^x=x+1\)
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_1=\left(\frac13\right)^x\) | \(9\) | \(3\) | \(1\) | \(\frac13\) | \(\frac19\) |
| \(y_2=x+1\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
Что получится: убывающая показательная кривая и возрастающая прямая. Они пересекаются в точке
\[
(0;1).
\]
Ответ: \(x=0\).
№3. \(2^x=-x-\frac74\)
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_1=2^x\) | \(\frac18\) | \(\frac14\) | \(\frac12\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y_2=-x-\frac74\) | \(\frac54\) | \(\frac14\) | \(-\frac34\) | \(-\frac74\) | \(-\frac{11}{4}\) |
Что получится: возрастающая показательная кривая и убывающая прямая. Точка пересечения:
\[
\left(-2;\frac14\right).
\]
Ответ: \(x=-2\).
№5. \(2^x=3-2x-x^2\)
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_1=2^x\) | \(\frac18\) | \(\frac14\) | \(\frac12\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
| \(y_2=3-2x-x^2\) | \(0\) | \(3\) | \(4\) | \(3\) | \(0\) | \(-5\) |
Парабола \(y=3-2x-x^2\) направлена ветвями вниз, её вершина \((-1;4)\), нули \(x=-3\) и \(x=1\).
Точки пересечения примерно: \[ (-2{,}97;\;0{,}13), \qquad (0{,}58;\;1{,}50). \] Первый корень очень близок к \(x=-3\), но чуть правее.
Ответ:
\[
x\approx -2{,}97 \quad \text{и}\quad x\approx 0{,}58.
\]
№7. \(\left(\frac13\right)^x=-\frac3x\)
| \(x\) | \(-2\) | \(-1{,}5\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0{,}5\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_1=\left(\frac13\right)^x\) | \(9\) | \(3\sqrt3\approx5{,}20\) | \(3\) | \(\sqrt3\approx1{,}73\) | \(\approx0{,}58\) | \(\frac13\) |
| \(y_2=-\frac3x\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) | \(-6\) | \(-3\) |
Что получится: гипербола имеет две ветви. При \(x<0\) она выше оси \(Ox\), при \(x>0\) — ниже. Показательная кривая всегда выше оси \(Ox\), поэтому пересечение только одно:
\[
(-1;3).
\]
Ответ: \(x=-1\).
Итог по графикам:
\[ \boxed{1)\ x=0;\quad 3)\ x=-2;\quad 5)\ x\approx-2{,}97,\ 0{,}58;\quad 7)\ x=-1.} \]
