Реши задание на изображении
Краткие ответы
- а) \(\dfrac{2b}{3x^4}\); б) \(\dfrac{3}{x-3}\); в) \(x+4\).
- а) \(\dfrac{11}{12}\); б) \(\dfrac{a(a-10)}{5(a-5)}\).
- а) \(3b\); б) \(\dfrac{m+n}{5}\); в) \(\dfrac{x(x-1)}{x-5}\).
- а) \(\dfrac{x-y}{y}\); б) \(\dfrac{x-4}{3x}\).
- \(\dfrac{1}{x^2-2x+4}\).
Допустимые значения: 1а — \(x,b\ne0\); 1б — \(x\ne0,3\); 1в — \(x\ne4\); 2а — \(y\ne0\); 2б — \(a\ne5\); 3а — \(a,b\ne0\); 3б — \(m\ne n,\ m\ne-2n\); 3в — \(x\ne0,1,\pm5\); 4а — \(x\ne0,\ y\ne0,\ x\ne y\); 4б — \(x\ne0,3,4\); 5 — \(x\ne1,-2\).
Как это получается
Главное правило: сокращать дробь можно только на общий множитель, поэтому сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители.
1. Сокращение дробей
а) \[ \frac{14x^2b^4}{21x^6b^3} =\frac{2}{3}\cdot \frac{b}{x^4} =\frac{2b}{3x^4}. \]
б) Выносим \(2x\) в знаменателе: \[ \frac{6x}{2x^2-6x} =\frac{6x}{2x(x-3)} =\frac{3}{x-3}. \]
в) Разность квадратов: \[ \frac{x^2-16}{x-4} =\frac{(x-4)(x+4)}{x-4} =x+4. \]
2. Сложение и вычитание
а) Общий знаменатель \(12y\): \[ \frac{4y-3}{6y}+\frac{y+2}{4y} = \frac{2(4y-3)+3(y+2)}{12y} = \frac{11y}{12y} =\frac{11}{12}. \]
б) Общий знаменатель \(5(a-5)\): \[ \frac{a}{5}-\frac{a}{a-5} = \frac{a(a-5)-5a}{5(a-5)} = \frac{a^2-10a}{5(a-5)} = \frac{a(a-10)}{5(a-5)}. \]
3. Умножение и деление
а) Сокращаем одинаковые множители: \[ \frac{24a^4}{b^3}\cdot\frac{b^4}{8a^4} = \frac{24}{8}\cdot\frac{b^4}{b^3} =3b. \]
б) Раскладываем: \[ m^2-n^2=(m-n)(m+n),\qquad 5m+10n=5(m+2n). \] Тогда \[ \frac{m+2n}{m-n}\cdot\frac{(m-n)(m+n)}{5(m+2n)} = \frac{m+n}{5}. \]
в) Деление заменяем умножением на обратную дробь: \[ \frac{(x-1)^2}{(x-5)(x+5)}\cdot \frac{x(x+5)}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-5}. \]
4. Упрощение выражений
а) Сначала сумма в скобках: \[ \frac{4x}{x-y}+\frac{4x}{y} = \frac{4xy+4x(x-y)}{y(x-y)} = \frac{4x^2}{y(x-y)}. \] Теперь умножаем: \[ \frac{(x-y)^2}{4x^2}\cdot\frac{4x^2}{y(x-y)} = \frac{x-y}{y}. \]
б) Упрощаем каждую скобку: \[ x-\frac{5x-16}{x-3} = \frac{x^2-8x+16}{x-3} = \frac{(x-4)^2}{x-3}, \] \[ 3x-\frac{3x}{x-3} = \frac{3x(x-4)}{x-3}. \] Делим: \[ \frac{(x-4)^2}{x-3}\cdot \frac{x-3}{3x(x-4)} = \frac{x-4}{3x}. \]
5. Дополнительное задание
Сначала первая скобка. Общий знаменатель: \[ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1). \] Тогда \[ \frac1{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1} = \frac{x^2+x+1-(x^2-1)}{x^3-1} = \frac{x+2}{x^3-1}. \]
Вторая скобка: \[ 1+\frac{9}{x^3-1} = \frac{x^3+8}{x^3-1} = \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x^3-1}. \]
Теперь делим: \[ \frac{x+2}{x^3-1}\cdot \frac{x^3-1}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{1}{x^2-2x+4}. \] Важно: \(x=-2\) пришлось бы исключить, потому что тогда вторая скобка равна нулю, а делить на неё нельзя.
Проверка подстановкой: например, в №2а при \(y=1\) получаем \(\frac16+\frac34=\frac{11}{12}\), совпадает.
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни подробнее, как делать №4
№4 — подробный разбор
Этот номер — про «многоэтажные» дроби. Тут работают два правила, которые нужно применять строго по порядку:
- Порядок действий: сначала всё, что в скобках; потом умножение и деление слева направо.
- Деление — это умножение на обратную дробь (переворачиваем только вторую дробь).
- Сокращать можно только множители, поэтому после каждого действия раскладываем на множители.
а) \(\left(\dfrac{4x}{x-y}+\dfrac{4x}{y}\right)\cdot\dfrac{(x-y)^2}{4x^2}\)
Шаг 1. Считаем скобку — приводим к общему знаменателю
Общий знаменатель у \(\dfrac{4x}{x-y}\) и \(\dfrac{4x}{y}\) — это \(y(x-y)\). Домножаем каждую дробь на недостающий множитель:
\[ \frac{4x}{x-y}=\frac{4x\cdot y}{(x-y)\cdot y}=\frac{4xy}{y(x-y)} \]
\[ \frac{4x}{y}=\frac{4x\cdot(x-y)}{y\cdot(x-y)}=\frac{4x(x-y)}{y(x-y)} \]
Складываем — общий знаменатель пишем один раз, числители складываем:
\[ \frac{4xy+4x(x-y)}{y(x-y)} \]
Шаг 2. Раскрываем скобки в числителе
\[ 4xy+4x^2-4xy=4x^2 \]
Слагаемые \(4xy\) и \(-4xy\) взаимно уничтожились — это и есть главная «изюминка» примера. Получаем:
\[ \left(\frac{4x}{x-y}+\frac{4x}{y}\right)=\frac{4x^2}{y(x-y)} \]
Шаг 3. Умножаем на вторую дробь
\[ \frac{4x^2}{y(x-y)}\cdot\frac{(x-y)^2}{4x^2} \]
Умножение дробей — «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель». Перед этим сокращаем крест-накрест:
- \(4x^2\) и \(4x^2\) сокращаются полностью;
- в знаменателе \((x-y)\), в числителе \((x-y)^2\) — остаётся одна скобка.
\[ \frac{(x-y)^2}{y(x-y)}=\frac{x-y}{y} \]
Ответ: \(\dfrac{x-y}{y}\), при \(x\ne0,\ y\ne0,\ x\ne y\).
Проверка подстановкой
Возьмём \(x=3,\ y=1\):
- скобка: \(\frac{12}{2}+\frac{12}{1}=6+12=18\);
- вторая дробь: \(\frac{(3-1)^2}{4\cdot9}=\frac{4}{36}=\frac19\);
- произведение: \(18\cdot\frac19=2\);
- по формуле: \(\frac{3-1}{1}=2\). ✅
б) \(\left(x-\dfrac{5x-16}{x-3}\right):\left(3x-\dfrac{3x}{x-3}\right)\)
Шаг 1. Первая скобка
Целое выражение \(x\) — это дробь \(\dfrac{x}{1}\), поэтому приводим к знаменателю \(x-3\):
\[ x-\frac{5x-16}{x-3}=\frac{x(x-3)}{x-3}-\frac{5x-16}{x-3} =\frac{x^2-3x-(5x-16)}{x-3} \]
⚠️ Здесь главная ловушка: перед дробью стоит минус, и он относится ко всему числителю, поэтому \(5x-16\) обязательно берём в скобки. Если написать \(\frac{x^2-3x-5x-16}{x-3}\) — это ошибка.
Раскрываем скобки:
\[ \frac{x^2-3x-5x+16}{x-3}=\frac{x^2-8x+16}{x-3} \]
Замечаем формулу квадрата разности:
\[ x^2-8x+16=(x-4)^2 \]
Значит первая скобка:
\[ \frac{(x-4)^2}{x-3} \]
Шаг 2. Вторая скобка
\[ 3x-\frac{3x}{x-3}=\frac{3x(x-3)}{x-3}-\frac{3x}{x-3} =\frac{3x^2-9x-3x}{x-3}=\frac{3x^2-12x}{x-3} \]
Выносим общий множитель \(3x\):
\[ \frac{3x(x-4)}{x-3} \]
Шаг 3. Деление заменяем умножением
Правило: \(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}\). Первая дробь остаётся как была, переворачиваем только вторую:
\[ \frac{(x-4)^2}{x-3}\cdot\frac{x-3}{3x(x-4)} \]
Шаг 4. Сокращаем
- \((x-4)^2\) и \((x-4)\) → остаётся \((x-4)\);
- \((x-3)\) и \((x-3)\) → уходят.
\[ \frac{(x-4)^2}{x-3}\cdot\frac{x-3}{3x(x-4)}=\frac{x-4}{3x} \]
Ответ: \(\dfrac{x-4}{3x}\), при \(x\ne0,\ 3,\ 4\).
Почему появляется \(x\ne4\): при \(x=4\) вторая скобка равна нулю, а делить на неё нельзя. \(x\ne3\) — знаменатель исходных дробей, \(x\ne0\) — знаменатель второй скобки после упрощения.
Проверка подстановкой
Возьмём \(x=5\):
- первая скобка: \(5-\frac{25-16}{2}=5-4{,}5=0{,}5\);
- вторая: \(15-\frac{15}{2}=15-7{,}5=7{,}5\);
- деление: \(\frac{0{,}5}{7{,}5}=\frac{1}{15}\);
- по формуле: \(\frac{5-4}{3\cdot5}=\frac{1}{15}\). ✅
Что чаще всего ломается в таких номерах
| Ошибка | Как правильно |
|---|---|
| Переворачивают первую дробь при делении | Переворачиваем только вторую |
| Минус перед дробью применяют лишь к первому слагаемому | Минус действует на весь числитель: \(-(5x-16)\) |
| Сокращают слагаемые: \(\frac{x^2-8x}{x}\) | Сокращать можно только множители, поэтому сначала разложить на множители |
| Забывают про ОДЗ | Выписывать все \(x\), при которых знаменатель или делитель равен нулю |
Алгоритм, который подойдёт к любому похожему примеру: скобки → общий знаменатель → раскрыть и привести подобные → разложить на множители → деление заменить умножением на обратную → сократить множители → записать ОДЗ → проверить подстановкой одного числа.
