Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. Вершина параболы \(y=-x^2+4x-9\):
   \[ \boxed{(2;-5)} \] В виде \(y=a(x-x_0)^2+y_0\): \[ y=-(x-2)^2-5. \]

2. Для функции \(y=x^2+4x+3\): \[ y=(x+2)^2-1, \] вершина — \((-2;-1)\), ветви направлены вверх.

   а) \(y(2)=15\);
   б) \(y=3\) при \(x=-4\) и \(x=0\);
   в) нули функции: \(x=-3\) и \(x=-1\);
   г) функция убывает при \(x\le -2\), возрастает при \(x\ge -2\).

3. Графики получаются из шаблона \(y=x^2\):

   • \(y=x^2-3\) — сдвиг вниз на \(3\);
   • \(y=(x-3)^2\) — сдвиг вправо на \(3\);
   • \(y=-(x-3)^2\) — сдвиг вправо на \(3\) и отражение ветвями вниз.

Как это получается

1. Вершина параболы

Для параболы \(y=ax^2+bx+c\) абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}. \] Здесь \(a=-1,\ b=4\), поэтому: \[ x_0=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2. \] Подставляем \(x=2\): \[ y(2)=-(2)^2+4\cdot2-9=-4+8-9=-5. \] Значит, вершина: \[ (2;-5). \]

Проверка через выделение квадрата: \[ -x^2+4x-9=-(x^2-4x+4)-5=-(x-2)^2-5. \] Всё верно.

2. График \(y=x^2+4x+3\)

Выделим полный квадрат: \[ x^2+4x+3=(x+2)^2-1. \] Значит, вершина параболы: \[ (-2;-1). \] Ветви направлены вверх, потому что коэффициент при \(x^2\) положительный.

Таблица точек для построения:

По этим точкам и строим плавную параболу.

Далее по графику:

• при \(x=2\): \[ y=2^2+4\cdot2+3=4+8+3=15; \]
• при \(y=3\): \[ x^2+4x+3=3, \] \[ x^2+4x=0, \] \[ x(x+4)=0, \] откуда \(x=0\) или \(x=-4\);
• нули функции — это решения \(y=0\): \[ x^2+4x+3=0, \] \[ (x+3)(x+1)=0, \] поэтому \(x=-3\) и \(x=-1\);
• вершина находится при \(x=-2\). Левее неё функция убывает, правее — возрастает.

3. Три графика из шаблона \(y=x^2\)

Берём точки шаблона: \[ (-2;4),\ (-1;1),\ (0;0),\ (1;1),\ (2;4). \]

Важно: \(y=(x-3)^2\) смещается именно вправо, потому что при \(x=3\) выражение \(x-3\) равно нулю.
А \(y=-(x-3)^2\) имеет ту же вершину \((3;0)\), но ветви направлены вниз.

Проверка: все три графика сохраняют форму параболы \(y=x^2\), меняются только положение вершины и направление ветвей.