Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Вершина параболы \(y=-x^2+4x-9\):
   \[ \boxed{(2;-5)} \]

2. \(y=x^2+4x+3=(x+2)^2-1\). Вершина — \((-2;-1)\), ветви вверх.
   а) при \(x=2\): \(\boxed{y=15}\);
   б) \(y=3\) при \(\boxed{x=-4}\) и \(\boxed{x=0}\);
   в) нули функции: \(\boxed{x=-3}\) и \(\boxed{x=-1}\);
   г) функция убывает при \(x\le -2\), возрастает при \(x\ge -2\).

• \(y=x^2-3\) — парабола \(y=x^2\), сдвинутая вниз на 3; вершина \((0;-3)\).
• \(y=(x-3)^2\) — парабола \(y=x^2\), сдвинутая вправо на 3; вершина \((3;0)\).
• \(y=-(x-3)^2\) — та же парабола, отражённая ветвями вниз; вершина \((3;0)\).

Как это получить

1. Вершина параболы

Для функции \(y=ax^2+bx+c\) вершина находится по формуле \[ x_0=-\frac{b}{2a}. \] Здесь \(a=-1,\ b=4\): \[ x_0=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2. \] Подставляем \(x=2\): \[ y(2)=-2^2+4\cdot2-9=-4+8-9=-5. \] Значит, вершина: \[ \boxed{(2;-5)}. \]

Проверка через выделение квадрата: \[ -x^2+4x-9=-(x-2)^2-5. \] Отсюда сразу видно: вершина \((2;-5)\), ветви направлены вниз.

2. График \(y=x^2+4x+3\)

Выделим квадрат: \[ x^2+4x+3=(x+2)^2-1. \] Значит, график — парабола \(y=x^2\), сдвинутая влево на 2 и вниз на 1. Вершина: \[ (-2;-1). \] Так как коэффициент при \(x^2\) положителен, ветви вверх.

Для построения можно взять точки: \[ (-4;3),\ (-3;0),\ (-2;-1),\ (-1;0),\ (0;3). \] Ось симметрии — прямая \(x=-2\).

Теперь пункты:

а) При \(x=2\): \[ y=2^2+4\cdot2+3=4+8+3=15. \] Ответ: \(15\).

б) Решаем \(y=3\): \[ x^2+4x+3=3, \] \[ x^2+4x=0, \] \[ x(x+4)=0. \] Отсюда: \[ x=0 \quad \text{или} \quad x=-4. \]

в) Нули функции — это точки, где \(y=0\): \[ x^2+4x+3=0, \] \[ (x+1)(x+3)=0. \] Поэтому: \[ x=-1,\quad x=-3. \]

г) Вершина находится при \(x=-2\). Ветви вверх, поэтому:

• слева от вершины функция убывает: \(x\le -2\);
• справа от вершины возрастает: \(x\ge -2\).

Можно записать промежутки так: \[ (-\infty;-2] \quad\text{— убывает,} \] \[ [-2;+\infty) \quad\text{— возрастает.} \]

3. Три графика в одной системе координат

Все графики получаются из шаблона \(y=x^2\), у них одинаковая «ширина», но разные сдвиги и направления.

1) \(y=x^2-3\)

Вычитание 3 после квадрата сдвигает график вниз на 3.
Вершина: \[ (0;-3). \] Контрольные точки: \[ (-2;1),\ (-1;-2),\ (0;-3),\ (1;-2),\ (2;1). \] Ветви вверх.

2) \(y=(x-3)^2\)

Вычитание 3 внутри скобки сдвигает график вправо на 3.
Вершина: \[ (3;0). \] Контрольные точки: \[ (1;4),\ (2;1),\ (3;0),\ (4;1),\ (5;4). \] Ветви вверх.

3) \(y=-(x-3)^2\)

Сначала график \(y=(x-3)^2\) отражаем относительно оси \(Ox\), поэтому ветви идут вниз.
Вершина остаётся: \[ (3;0). \] Контрольные точки: \[ (1;-4),\ (2;-1),\ (3;0),\ (4;-1),\ (5;-4). \] Ветви вниз.

Главный принцип для похожих заданий

• Вершину параболы ищем по формуле \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\), затем подставляем \(x_0\) в функцию.
• \(y=x^2+k\) — сдвиг вверх/вниз.
• \(y=(x-m)^2\) — сдвиг вправо на \(m\), если \(m>0\).
• Минус перед квадратом переворачивает параболу ветвями вниз.
• Нули функции — это решения уравнения \(y=0\).
• Промежутки возрастания и убывания разделяются вершиной параболы.