№4

Ответ: а) \(\displaystyle \frac{y(x-y)^3}{16x^4}\), где \(x\ne0,\ y\ne0,\ x\ne y\);

б) \(\displaystyle \frac{x-4}{3x}\), где \(x\ne0,\ x\ne3,\ x\ne4\).

Как это получается

Главное правило: сначала выполняем действия в скобках, а деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь.

а)

Приводим дроби в скобках к общему знаменателю:

\[ \frac{4x}{x-y}+\frac{4x}{y} = \frac{4xy+4x(x-y)}{y(x-y)} = \frac{4xy+4x^2-4xy}{y(x-y)} = \frac{4x^2}{y(x-y)}. \]

Теперь делим:

\[ \frac{(x-y)^2}{4x^2}:\frac{4x^2}{y(x-y)} = \frac{(x-y)^2}{4x^2}\cdot\frac{y(x-y)}{4x^2} = \frac{y(x-y)^3}{16x^4}. \]

Знаменатели не должны быть нулевыми, поэтому \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(x\ne y\).

б)

Сначала упрощаем первую скобку:

\[ x-\frac{5x-16}{x-3} = \frac{x(x-3)-(5x-16)}{x-3} = \frac{x^2-8x+16}{x-3} = \frac{(x-4)^2}{x-3}. \]

Теперь вторую:

\[ 3x-\frac{3x}{x-3} = \frac{3x(x-3)-3x}{x-3} = \frac{3x^2-12x}{x-3} = \frac{3x(x-4)}{x-3}. \]

Делим:

\[ \frac{(x-4)^2}{x-3}:\frac{3x(x-4)}{x-3} = \frac{(x-4)^2}{x-3}\cdot\frac{x-3}{3x(x-4)} = \frac{x-4}{3x}. \]

Дополнительно \(x\ne4\), потому что при \(x=4\) вторая скобка равна нулю, а делить на нуль нельзя.

Проверка: в пункте б при \(x=1\) исходное выражение равно \(-1\), и \(\frac{1-4}{3\cdot1}=-1\). Всё сходится.