Реши

Краткий ответ: \(AK=CM\), потому что \(AK\) и \(CM\) — соответствующие стороны равных треугольников \(ABK\) и \(CBM\).

Доказательство:

1. По условию \(AB=BC\).
2. \(M\) — середина \(AB\), значит
   \[ BM=\frac{AB}{2}. \] \(K\) — середина \(BC\), значит
   \[ BK=\frac{BC}{2}. \] Так как \(AB=BC\), получаем \(BM=BK\).
3. Угол \(B\) — общий для треугольников \(ABK\) и \(CBM\): \[ \angle ABK=\angle CBM. \]
4. Значит, треугольники \(ABK\) и \(CBM\) равны по двум сторонам и углу между ними: \[ AB=CB,\quad BK=BM,\quad \angle B \text{ — общий}. \]
5. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому соответствующие стороны \(AK\) и \(CM\) равны: \[ AK=CM. \]

Принцип: чтобы доказать равенство двух отрезков, полезно найти треугольники, в которых эти отрезки являются сторонами, и доказать равенство самих треугольников.