Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).
Как решать
Уравнение имеет вид:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\). Сначала находим дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]
Так как \(D>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]
Подставляем:
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2} \]
\[ x_1=\frac{6}{2}=3,\qquad x_2=\frac{4}{2}=2 \]
Проверка
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Можно решить и короче: разложить на множители. Нужны два числа, которые в произведении дают \(6\), а в сумме \(-5\). Это \(-2\) и \(-3\), поэтому:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]
Отсюда \(x=2\) или \(x=3\).
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Хороший вопрос — давай разберёмся, что такое \(x\) и почему он «появляется» в записи.
Что вообще такое \(x\)
\(x\) — это неизвестное число, которое мы ищем. Уравнение — это вопрос:
«При каком числе \(x\) выражение \(x^2-5x+6\) равно нулю?»
То есть \(x\) не «откуда-то взялся» — он был в условии с самого начала. Наша задача — найти те числа, которые на его месте дадут 0.
Этап с формулой корней
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
Здесь буква \(x\) — это по-прежнему наше неизвестное, а индексы \(1\) и \(2\) — просто номера двух ответов (корней). Формула — это готовый рецепт: подставляешь числа \(a\), \(b\), \(c\) — и получаешь конкретные числа вместо \(x\):
\[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2 \]
То есть \(x\) «превратился» в 3 и 2 — это и есть ответ.
Этап с разложением на множители
Тут \(x\) остаётся буквой, потому что мы записываем выражение в другом виде:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
(если раскрыть скобки, получится исходное выражение — поэтому запись верна).
Дальше работает правило: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Значит либо
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]
либо
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Здесь \(x\) «вытаскивается» из скобки: мы решаем уже простые уравнения \(x-2=0\) и \(x-3=0\).
Если хочешь увидеть, откуда взялась сама формула
Её получают выделением полного квадрата:
\[ x^2-5x+6=0 \]
\[ x^2-5x=-6 \]
\[ x^2-2\cdot\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{2}\right)^2=-6+\frac{25}{4} \]
\[ \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac14 \]
\[ x-\frac{5}{2}=\pm\frac12 \]
\[ x=\frac52\pm\frac12 \Rightarrow x=3 \text{ или } x=2 \]
Видно, что \(x\) всё время остаётся неизвестным, а в конце мы просто «освобождаем» его из квадрата и получаем два числа.
Итог: \(x\) — это искомое число из условия; в формуле корней он превращается в конкретные ответы, а в разложении на множители остаётся буквой, из которой мы потом находим значения \(2\) и \(3\).
