Реши задание на изображении
На фото несколько упражнений — ниже решения для всех видимых номеров. Главное правило:
\[ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \]
— это окружность с центром \(C(a;b)\) и радиусом \(r\). Координаты точек подставляем вместо \(x\) и \(y\).
№ 1049. Окружность \(x^2+y^2=25\).
а) \(x=-4\): \[ 16+y^2=25 \Rightarrow y^2=9 \Rightarrow y=\pm3. \] Точки: \((-4;3)\), \((-4;-3)\).
б) \(y=3\): \[ x^2+9=25 \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=\pm4. \] Точки: \((4;3)\), \((-4;3)\).
№ 1050.
\[
(x-3)^2+(y-5)^2=25
\]
Центр \((3;5)\), радиус \(5\).
а) \(x=3\): \[ (y-5)^2=25 \Rightarrow y=0 \text{ или } y=10. \] Точки: \((3;0)\), \((3;10)\).
б) \(y=5\): \[ (x-3)^2=25 \Rightarrow x=-2 \text{ или } x=8. \] Точки: \((-2;5)\), \((8;5)\).
№ 1051. Центр в начале координат, значит \(x^2+y^2=r^2\).
\[ x^2+y^2=9; \] \[ x^2+y^2=2; \] \[ x^2+y^2=\frac{25}{4}. \]
№ 1052.
а) \(A(0;5),\ r=3\):
\[
x^2+(y-5)^2=9.
\]
б) \(A(-1;2),\ r=2\): \[ (x+1)^2+(y-2)^2=4. \]
в) \(A(-3;-7),\ r=\frac12\): \[ (x+3)^2+(y+7)^2=\frac14. \]
г) \(A(4;-3),\ r=10\): \[ (x-4)^2+(y+3)^2=100. \]
№ 1053. Центр \((0;0)\), точка \(B(-1;3)\).
\[ r^2=(-1)^2+3^2=10. \]
Уравнение: \[ x^2+y^2=10. \]
№ 1054. Центр \(A(0;6)\), точка \(B(-3;2)\).
\[ r^2=(-3-0)^2+(2-6)^2=9+16=25. \]
Уравнение: \[ x^2+(y-6)^2=25. \]
№ 1055. Концы диаметра — центр есть середина отрезка.
а) \(M(-3;5)\), \(N(7;-3)\): \[ C\left(\frac{-3+7}{2};\frac{5-3}{2}\right)=(2;1). \] \[ r^2=(2-(-3))^2+(1-5)^2=25+16=41. \] Уравнение: \[ (x-2)^2+(y-1)^2=41. \]
б) \(M(2;-1)\), \(N(4;3)\): \[ C\left(\frac{2+4}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=(3;1). \] \[ r^2=(2-3)^2+(-1-1)^2=1+4=5. \] Уравнение: \[ (x-3)^2+(y-1)^2=5. \]
№ 1056. Центр лежит на оси абсцисс, значит \(C(a;0)\). Радиус \(5\), точка \(A(1;3)\):
\[ (1-a)^2+(3-0)^2=25, \] \[ (1-a)^2=16, \] \[ 1-a=\pm4. \]
Отсюда: \[ a=-3 \quad \text{или} \quad a=5. \]
Получаются две окружности: \[ (x+3)^2+y^2=25, \] \[ (x-5)^2+y^2=25. \]
Ответ: таких окружностей две.
№ 1057. Центр на оси ординат: \(C(0;b)\).
Расстояния до \(A(-3;0)\) и \(B(0;9)\) равны:
\[ 9+b^2=(9-b)^2. \] \[ 9+b^2=81-18b+b^2, \] \[ 18b=72, \] \[ b=4. \]
Тогда \[ r^2=9+4^2=25. \]
Уравнение: \[ x^2+(y-4)^2=25. \]
№ 1058. Прямая через две точки:
\[ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}. \]
а) \(A(1;-1)\), \(B(-3;2)\): \[ 3x+4y+1=0. \]
б) \(C(2;5)\), \(D(5;2)\): \[ x+y-7=0. \]
в) \(M(0;1)\), \(N(-4;-5)\): \[ 3x-2y+2=0. \]
Все ответы можно проверить подстановкой координат: если точка лежит на окружности или прямой, уравнение должно обращаться в верное равенство.
