Реши задание на изображении

Полностью на фото читаются номера 202, 205, 208, 209, 211, 213. Ответы:

\[ \begin{aligned} 202.&\quad \frac{3-i}{5-3i}=\frac{9+2i}{17},\\[2mm] 205.&\quad \frac{3+2i}{5i}=\frac{2-3i}{5},\\[2mm] 208.&\quad \frac{5-7i}{5+7i}=-\frac{12+35i}{37},\\[2mm] 209.&\quad \frac{1-i}{1+i}=-i,\\[2mm] 211.&\quad \frac{(2+3i)-(5+7i)}{2+3i}=\frac{-18+i}{13},\\[2mm] 213.&\quad \frac{6+2i}{3-7i}-\frac{2+3i}{2+5i} =\frac{-17+28i}{29}. \end{aligned} \]

У номеров 199, 200, 203, 206 часть условия обрезана, поэтому по этой фотографии их решить нельзя.

Принцип

При делении комплексных чисел умножают числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю:

\[ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}. \]

Это помогает потому, что

\[ (c+di)(c-di)=c^2+d^2 \]

— уже действительное число. И везде используем \(i^2=-1\).

Ключевые шаги

\[ 202.\quad \frac{(3-i)(5+3i)}{(5-3i)(5+3i)} = \frac{18+4i}{34} = \frac{9+2i}{17}. \]

\[ 205.\quad \frac{3+2i}{5i} = \frac{(3+2i)(-i)}{5i(-i)} = \frac{2-3i}{5}. \]

\[ 208.\quad \frac{(5-7i)(5-7i)}{(5+7i)(5-7i)} = \frac{-24-70i}{74} = -\frac{12+35i}{37}. \]

\[ 209.\quad \frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)} = \frac{-2i}{2} = -i. \]

\[ 211.\quad (2+3i)-(5+7i)=-3-4i, \]

\[ \frac{-3-4i}{2+3i} = \frac{(-3-4i)(2-3i)}{13} = \frac{-18+i}{13}. \]

\[ 213.\quad \frac{6+2i}{3-7i} = \frac{(6+2i)(3+7i)}{58} = \frac{2+24i}{29}, \]

\[ \frac{2+3i}{2+5i} = \frac{(2+3i)(2-5i)}{29} = \frac{19-4i}{29}, \]

\[ \frac{2+24i}{29}-\frac{19-4i}{29} = \frac{-17+28i}{29}. \]

Проверка: если умножить полученный результат на исходный знаменатель, должен получиться исходный числитель. Например:

\[ (5-3i)\left(\frac{9+2i}{17}\right)=3-i. \]