Реши задание на изображении

Ответы

\[ 203.\quad \frac{3+2i}{1-5i}=-\frac{7}{26}+\frac{17}{26}i \]

\[ 206.\quad \frac{6-7i}{i}=-7-6i \]

\[ 209.\quad \frac{1-i}{1+i}=-i \]

Как решать

Главное правило: \(i^2=-1\). Чтобы избавиться от \(i\) в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю:

\[ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}. \]

203

\[ \frac{3+2i}{1-5i} = \frac{(3+2i)(1+5i)}{1^2+5^2} \]

\[ (3+2i)(1+5i)=3+15i+2i+10i^2 =3+17i-10=-7+17i \]

Значит:

\[ \frac{3+2i}{1-5i}=\frac{-7+17i}{26} =-\frac{7}{26}+\frac{17}{26}i. \]

206

\[ \frac{6-7i}{i} = \frac{(6-7i)(-i)}{i\cdot(-i)} \]

Так как \(i\cdot(-i)=1\), получаем:

\[ (6-7i)(-i)=-6i+7i^2=-6i-7=-7-6i. \]

209

\[ \frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{(1-i)^2}{1^2+1^2} \]

\[ (1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i \]

\[ \frac{-2i}{2}=-i. \]

Проверка

\[ \left(-\frac{7}{26}+\frac{17}{26}i\right)(1-5i)=3+2i \]

\[ (-7-6i)i=6-7i \]

\[ (-i)(1+i)=1-i \]

Всё сходится.