№4

На фото два варианта, поэтому ниже даю №4 для каждого — выбери свой.

Краткий ответ

• Вариант 1: \(f(x)=x^4-4x^2\).
  Точки экстремума: \(x=0\) — максимум \(0\), \(x=\pm\sqrt2\) — минимумы \(-4\). График «W-образный».

• Вариант 2: \(f(x)=-x^3+3x^2-4\).
  \(x=0\) — минимум \(-4\), \(x=2\) — максимум \(0\). График — кубическая кривая, уходящая вправо вниз.

Вариант 1. \(f(x)=x^4-4x^2\)

1. Область определения: \(x\in\mathbb R\).
   Функция чётная: \(f(-x)=f(x)\), значит, график симметричен относительно оси \(Oy\).

2. Нули и знаки: \[ f(x)=x^2(x^2-4)=x^2(x-2)(x+2). \] Нули: \(x=0,\ \pm2\).
   \(f>0\) при \(x<-2\) и \(x>2\);
   \(f<0\) при \(-2<x<0\) и \(0<x<2\).

3. Производная: \[ f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2). \] Критические точки: \(0,\ \pm\sqrt2\).

   \[ f'<0 \text{ на }(-\infty,-\sqrt2)\cup(0,\sqrt2), \] \[ f'>0 \text{ на }(-\sqrt2,0)\cup(\sqrt2,+\infty). \]

   Значит:

   • убывает на \((-\infty,-\sqrt2]\) и \([0,\sqrt2]\);
   • возрастает на \([-\sqrt2,0]\) и \([\sqrt2,+\infty)\).

   Экстремумы: \[ f(-\sqrt2)=f(\sqrt2)=4-8=-4, \] \[ f(0)=0. \]

   То есть \(x=\pm\sqrt2\) — точки минимума, \(x=0\) — точка максимума.

4. Вторая производная: \[ f''(x)=12x^2-8=4(3x^2-2). \] Точки перегиба: \[ x=\pm\sqrt{\frac23},\qquad y=-\frac{20}{9}. \] При \(x^2<\frac23\) имеем \(f''<0\), при \(x^2>\frac23\) — \(f''>0\).

5. Поведение на бесконечности: \[ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty. \] Асимптот нет.

График: «W»-образная симметричная кривая. Ключевые точки: \[ (-2,0),\quad (-\sqrt2,-4),\quad (0,0),\quad (\sqrt2,-4),\quad (2,0). \] Точки перегиба: \(\left(\pm\sqrt{\frac23},-\frac{20}{9}\right)\).

Вариант 2. \(f(x)=-x^3+3x^2-4\)

1. Область определения: \(x\in\mathbb R\).
   Функция не является ни чётной, ни нечётной.

2. Нули: \[ f(x)=-(x^3-3x^2+4)=-(x+1)(x-2)^2. \] Нули: \(x=-1\) и \(x=2\).
   При \(x=2\) корень чётный, поэтому график касается оси \(Ox\), но не переходит через неё.

   Знаки:

   • \(f>0\) при \(x<-1\);
   • \(f<0\) при \(-1<x<2\) и \(x>2\).

   \(f(0)=-4\).

3. Производная: \[ f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2). \] Критические точки: \(x=0\) и \(x=2\).

   \[ f'<0 \text{ на }(-\infty,0)\cup(2,+\infty), \] \[ f'>0 \text{ на }(0,2). \]

   Значит:

   • убывает на \((-\infty,0]\) и \([2,+\infty)\);
   • возрастает на \([0,2]\).

   Экстремумы: \[ f(0)=-4 \quad \text{— минимум}, \] \[ f(2)=0 \quad \text{— максимум}. \]

4. Вторая производная: \[ f''(x)=-6x+6=-6(x-1). \] Точка перегиба: \[ x=1,\qquad y=f(1)=-2. \] При \(x<1\) имеем \(f''>0\), при \(x>1\) — \(f''<0\).

5. Поведение на бесконечности: \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \] Асимптот нет.

График: кубическая кривая. Для построения полезны точки: \[ (-2,16),\quad (-1,0),\quad (0,-4),\quad (1,-2),\quad (2,0),\quad (3,-4). \] Слева график идёт сверху, проходит через \((-1,0)\), опускается к минимуму \((0,-4)\), поднимается к \((2,0)\), касается оси \(Ox\), затем уходит вниз.

Как рассуждать в похожем задании

1. Найди область определения и проверь чётность.
2. Найди нули функции и её знаки.
3. Найди производную, критические точки и промежутки возрастания/убывания.
4. По смене знака производной определи максимумы и минимумы.
5. Найди вторую производную — точки перегиба.
6. Добавь пределы на бесконечности и построй график по характерным точкам.

Проверка: в варианте 1 производная меняет знак так:
\[ -\ \to\ +\ \to\ -\ \to\ +, \] то есть минимум — максимум — минимум. Это соответствует «W-образному» графику. В варианте 2 знаки производной: \[ -\ \to\ +\ \to\ -, \] то есть минимум, затем максимум.