Реши 65
Кратко — ответы к №65:
\[ \text{а) }x\in(2;4)\cup(9;+\infty) \]
\[ \text{б) }x\in(-\infty;-9]\cup[-1;3] \]
\[ \text{в) }x\in(-\infty;-7)\cup(-1;0)\cup(4;+\infty) \]
\[ \text{г) }x\in(-\infty;-2]\cup[0;+\infty) \]
Как это получается
- Находим нули каждого множителя и отмечаем их на числовой прямой.
- На самом правом промежутке знак обычно «\(+\)», если старший коэффициент положителен.
- При переходе через простой корень знак меняется, а при переходе через корень чётной кратности — не меняется.
- Для строгого неравенства \(>0\) или \(<0\) концы не включаем: скобки круглые. Для нестрогого \(\ge 0\) или \(\le 0\) нули включаем: скобки квадратные.
а)
Корни: \(2,\ 4,\ 9\), все простые.
Знаки на промежутках слева направо:
\[ -,\ +,\ -,\ +. \]
Нужен знак «\(+\)»:
\[ (2;4)\cup(9;+\infty). \]
б)
Корни: \(-9,\ -1,\ 3\), все простые.
Знаки:
\[ -,\ +,\ -,\ +. \]
Нужен знак «\(-\)», причём нули входят:
\[ (-\infty;-9]\cup[-1;3]. \]
в)
Корни: \(-7,\ -1,\ 0,\ 4\).
Знаки:
\[ +,\ -,\ +,\ -,\ +. \]
Нужен знак «\(+\)»:
\[ (-\infty;-7)\cup(-1;0)\cup(4;+\infty). \]
г)
\[
x^3(x-1)^2(x+2)\ge 0
\]
Корни: \(-2,\ 0,\ 1\).
В точке \(x=1\) множитель \((x-1)^2\) имеет чётную степень, поэтому знак при переходе через \(1\) не меняется.
Знаки:
\[ +,\ -,\ +,\ +. \]
Нужны «\(+\)» и нули:
\[ (-\infty;-2]\cup[0;+\infty). \]
Проверка: например, в пункте а) при \(x=3\) произведение положительно, а при \(x=5\) — отрицательно; в пункте г) при \(x=-1\) выражение отрицательно, а при \(x=2\) — положительно. Всё сходится.
