Реши задание на изображении

Кратко:

1. Угол: \(\cos\varphi=\dfrac{13}{\sqrt{319}}\), \(\varphi\approx43{,}3^\circ\).
2. Скалярная проекция: \(\dfrac{31}{\sqrt{29}}\); вектор-проекция: \(\left(\dfrac{62}{29},\dfrac{93}{29},\dfrac{124}{29}\right)\).
3. \(S_{A_1A_2A_3}=5\sqrt6\).
4. \(V=20\).
5. Тройка \((\vec{A_1A_4},\vec{A_1A_2},\vec{A_1A_3})\) — правая.
   Площадь параллелограмма в №2: \(\sqrt{21}\). В №3: \(\alpha=4,\ \beta=-1\).

I. Знать

1. Правая тройка векторов.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов \((\vec a,\vec b,\vec c)\) называется правой, если при взгляде с конца вектора \(\vec c\) кратчайший поворот от \(\vec a\) к \(\vec b\) виден против часовой стрелки.
В правой прямоугольной системе координат это эквивалентно условию \[ (\vec a\times \vec b)\cdot \vec c>0. \]

2. Доказать \(\vec k\times\vec k=\vec0\).
Угол вектора с самим собой равен \(0\), поэтому \[ |\vec k\times\vec k|=|\vec k|\cdot|\vec k|\sin0=0. \] Длина векторного произведения равна нулю, значит само произведение — нулевой вектор.
Можно и по координатам: \(\vec k=(0,0,1)\), тогда \[ \vec k\times\vec k= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 0&0&1\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=(0,0,0). \]

II. Уметь

1. Пирамида

Найдём векторы-рёбра: \[ \vec{A_1A_2}=(2,3,4),\quad \vec{A_1A_3}=(6,2,2),\quad \vec{A_1A_4}=(3,7,1). \]

1) Угол между \(A_1A_2\) и \(A_1A_3\).
Используем скалярное произведение: \[ \cos\varphi= \frac{\vec{A_1A_2}\cdot\vec{A_1A_3}} {|\vec{A_1A_2}|\,|\vec{A_1A_3}|}. \] Считаем: \[ \vec{A_1A_2}\cdot\vec{A_1A_3}=2\cdot6+3\cdot2+4\cdot2=26, \] \[ |\vec{A_1A_2}|=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29}, \] \[ |\vec{A_1A_3}|=\sqrt{6^2+2^2+2^2}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}. \] Значит, \[ \cos\varphi=\frac{26}{\sqrt{29}\sqrt{44}} =\frac{13}{\sqrt{319}}, \] \[ \varphi=\arccos\frac{13}{\sqrt{319}}\approx43{,}3^\circ. \]

2) Проекция \(\vec{A_1A_4}\) на \(\vec{A_1A_2}\).
Пусть \(\vec u=\vec{A_1A_4}\), \(\vec v=\vec{A_1A_2}\).
Скалярная проекция: \[ \operatorname{pr}_{\vec v}\vec u =\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|} =\frac{31}{\sqrt{29}}, \] так как \[ \vec{A_1A_4}\cdot\vec{A_1A_2} =3\cdot2+7\cdot3+1\cdot4=31. \] Вектор-проекция: \[ \vec u_{\vec v} =\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|^2}\vec v =\frac{31}{29}(2,3,4) =\left(\frac{62}{29},\frac{93}{29},\frac{124}{29}\right). \]

3) Площадь грани \(A_1A_2A_3\).
Площадь треугольника: \[ S=\frac12|\vec{A_1A_2}\times\vec{A_1A_3}|. \] Находим векторное произведение: \[ \vec{A_1A_2}\times\vec{A_1A_3}= (-2,20,-14). \] Тогда \[ |\vec{A_1A_2}\times\vec{A_1A_3}| =\sqrt{(-2)^2+20^2+(-14)^2} =\sqrt{600}=10\sqrt6. \] Значит, \[ S_{A_1A_2A_3}=\frac12\cdot10\sqrt6=5\sqrt6. \]

4) Объём пирамиды.
Объём пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения: \[ V=\frac16|(\vec{A_1A_2},\vec{A_1A_3},\vec{A_1A_4})|. \] Определитель: \[ \begin{vmatrix} 2&3&4\\ 6&2&2\\ 3&7&1 \end{vmatrix}=120. \] Следовательно, \[ V=\frac{120}{6}=20. \]

5) Взаимная ориентация векторов \(\vec{A_1A_4},\vec{A_1A_2},\vec{A_1A_3}\).
Вычислим смешанное произведение: \[ (\vec{A_1A_4}\times\vec{A_1A_2})\cdot\vec{A_1A_3}=120>0. \] Положительный знак означает, что тройка \[ (\vec{A_1A_4},\vec{A_1A_2},\vec{A_1A_3}) \] является правой.

2. Площадь параллелограмма

Даны: \[ \vec a=2\vec j+\vec k=(0,2,1),\qquad \vec b=\vec i+2\vec k=(1,0,2). \] Площадь параллелограмма: \[ S=|\vec a\times\vec b|. \] Находим: \[ \vec a\times\vec b= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 0&2&1\\ 1&0&2 \end{vmatrix} =(4,1,-2). \] Тогда \[ S=\sqrt{4^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{21}. \]

Ответ: \(S=\sqrt{21}\).

3. Коллинеарность векторов

Даны: \[ \vec a=-2\vec i+3\vec j+\beta\vec k=(-2,3,\beta), \] \[ \vec b=(\alpha,-6,2). \] Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Пусть \(\vec a=\lambda\vec b\). Тогда: \[ -2=\lambda\alpha,\qquad 3=-6\lambda,\qquad \beta=2\lambda. \] Из второго уравнения: \[ \lambda=-\frac12. \] Тогда \[ -2=-\frac12\alpha \quad\Rightarrow\quad \alpha=4, \] \[ \beta=2\cdot\left(-\frac12\right)=-1. \]

Ответ: \(\alpha=4,\quad \beta=-1\).