Пошагово объяснить решение задачи

Краткий ответ:
\[ \triangle ABC \cong \triangle CDA \] по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.

Пошаговое объяснение

1. Рассмотрим вспомогательные треугольники \(\triangle ABM\) и \(\triangle CDM\).

   Дано: \[ AM=MC,\qquad BM=MD. \] Углы при точке \(M\): \[ \angle AMB=\angle CMD \] как вертикальные.

   Значит, \[ \triangle ABM=\triangle CDM \] по первому признаку: две стороны и угол между ними.

2. Используем равенство треугольников.
   В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому: \[ AB=CD \] и \[ \angle BAM=\angle DCM. \]

3. Переходим к нужным углам.
   Точки \(A,M,C\) лежат на одной прямой, поэтому луч \(AM\) совпадает с лучом \(AC\). Значит, \[ \angle BAM=\angle BAC. \] Аналогично луч \(CM\) совпадает с лучом \(CA\), поэтому \[ \angle DCM=\angle DCA. \] Следовательно, \[ \angle BAC=\angle DCA. \]

4. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\): \[ AB=CD, \] \[ AC \text{ — общая сторона}, \] \[ \angle BAC=\angle DCA. \]

   Это две стороны и угол между ними, значит: \[ \triangle ABC=\triangle CDA \] по первому признаку равенства треугольников.

Что важно понять: сначала доказываем равенство «маленьких» треугольников \(\triangle ABM\) и \(\triangle CDM\), а потом переносим полученные равенства сторон и углов на «большие» треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\).