№5.5
Кратко:
- \(\dfrac{3}{4a}\)
- \(\dfrac{a}{5b}\)
- \(\dfrac{2c}{3m}\)
- \(-\dfrac{1}{15am}\)
- \(-\dfrac{3}{2x}\)
- \(\dfrac{3x}{5y}\)
Во всех ответах подразумеваются значения переменных, при которых исходные знаменатели не равны нулю.
Как это получается
При умножении дробей:
\[ \frac AB \cdot \frac CD=\frac{A\cdot C}{B\cdot D} \]
Потом сокращаем числа и одинаковые буквенные множители. Например, \(\frac{a^3}{a^2}=a\).
Если минусов нечётное число, ответ отрицательный; если чётное — положительный.
1) \[ \frac{5a}{7}\cdot\frac{21}{20a^2} =\frac{5a\cdot21}{7\cdot20a^2} =\frac{3}{4a} \]
Сократили: \(21:7=3\), \(5:20=\frac14\), \(a:a^2=\frac1a\).
2) \[ \frac{3,5}{14a^2}\cdot\frac{4a^3}{5b} =\frac{3,5\cdot4}{14\cdot5}\cdot\frac{a^3}{a^2}\cdot\frac1b =\frac{14}{70}\cdot\frac{a}{b} =\frac{a}{5b} \]
3) \[ \frac{c^2}{30}\cdot\frac{20}{cm} =\frac{20c^2}{30cm} =\frac{2c}{3m} \]
4) \[ -\frac{3m}{5a^2}\cdot\frac{a}{9m^2} =-\frac{3am}{45a^2m^2} =-\frac{1}{15am} \]
5) \[ \frac{4x^2}{7p}\cdot\left(-\frac{21p}{8x^3}\right) =-\frac{4\cdot21\,x^2p}{7\cdot8\,px^3} =-\frac{84}{56x} =-\frac{3}{2x} \]
6) \[ -\frac{5x^2}{7y^3}\cdot\left(-\frac{21y^2}{25x}\right) =+\frac{5\cdot21\,x^2y^2}{7\cdot25\,xy^3} =\frac{105}{175}\cdot\frac{x}{y} =\frac{3x}{5y} \]
Проверка: например, в №1 при \(a=2\): \[ \frac{5\cdot2}{7}\cdot\frac{21}{20\cdot4} =\frac{10}{7}\cdot\frac{21}{80} =\frac{3}{8}, \] а \(\frac{3}{4\cdot2}=\frac38\). Всё сходится.
