Привет

Вот решение всех трёх задач. Так как это геометрия, в первой задаче я подробно опишу алгоритм построения, а в остальных приведу полные выкладки.

1. Построение векторов

Даны два неколлинеарных вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Нужно построить: а) \(\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}\)

1. От произвольной точки \(O\) откладываем вектор \(\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}\) (он направлен так же, как \(\vec{a}\), но в 2 раза короче).
2. Из точки \(M\) откладываем вектор \(\vec{MN} = 3\vec{b}\) (он направлен так же, как \(\vec{b}\), но в 3 раза длиннее).
3. Вектор \(\vec{ON}\) по правилу треугольника и будет суммой: \(\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}\).

б) \(2\vec{b} - \vec{a}\)

1. От точки \(O\) откладываем вектор \(\vec{OP} = 2\vec{b}\).
2. Из точки \(P\) откладываем вектор \(\vec{PQ} = -\vec{a}\) (он равен вектору \(\vec{a}\) по длине, но противоположен по направлению).
3. Вектор \(\vec{OQ}\) — искомый: \(\vec{OQ} = 2\vec{b} - \vec{a}\).

2. Ромб и векторы

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(K\) — середина \(BC\) (\(BK=KC\)), \(O\) — точка пересечения диагоналей. \(\vec{a} = \overrightarrow{AB}\), \(\vec{b} = \overrightarrow{AD}\).

• \(\overrightarrow{AO}\): Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, значит \(O\) — середина \(AC\). Вектор \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \vec{a} + \vec{b}\). \[ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \]

• \(\overrightarrow{AK}\): По правилу треугольника \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK}\). Так как \(K\) — середина \(BC\), то \(\overrightarrow{BK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\). В ромбе противоположные стороны равны и параллельны, поэтому \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}\). \[ \overrightarrow{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \]

• \(\overrightarrow{KD}\): Используем разность: \(\overrightarrow{KD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AK}\). \[ \overrightarrow{KD} = \vec{b} - \left(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right) = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} \]

3. Трапеция и средняя линия

Дано: равнобедренная трапеция, высота делит большее основание на отрезки \(5\) см и \(12\) см.

1. Большее основание \(AD\) равно сумме этих отрезков: \(AD = 5 + 12 = 17\) см.
2. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины, отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований: \[ AH = \frac{AD - BC}{2} = 5 \] \[ \frac{17 - BC}{2} = 5 \implies 17 - BC = 10 \implies BC = 7 \text{ см} \]
3. Средняя линия равна полусумме оснований: \[ l = \frac{AD + BC}{2} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см} \]

Ответ к задаче 3: 12 см.