Реши задание на изображении

На фото задания 19–25 — разберу все.

Краткие ответы

• 19) 1
• 20) \((8;1), (1;8), (-1;-8), (-8;-1)\)
• 21) \(80\) км/ч
• 22) \(m=-\frac94\) или \(m=4\)
• 23) \(31\)
• 24) \(AE=CF\) — доказано
• 25) \(97{,}5\)

Решения

19. Верно только утверждение 1: средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Во 2-м — не у любого прямоугольника получаются четыре равных треугольника.
В 3-м определение косинуса неверное: \(\cos\alpha=\dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\).

20. \[ x^2+y^2=65,\quad xy=8. \] Так как \[ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy, \] то \[ 65=(x+y)^2-16 \Rightarrow (x+y)^2=81 \Rightarrow x+y=\pm 9. \] При \(x+y=9\), \(xy=8\): пары \((1;8)\), \((8;1)\).
При \(x+y=-9\), \(xy=8\): пары \((-1;-8)\), \((-8;-1)\).

21. Пусть скорость первого автомобиля \(v\) км/ч, тогда второго — \(v-20\) км/ч.
Первый приезжает на 1 ч раньше: \[ \frac{240}{v-20}-\frac{240}{v}=1. \] После упрощения: \[ v^2-20v-4800=0, \] \[ v=80 \quad \text{или} \quad v=-60. \] Скорость положительна, значит \(v=80\) км/ч.
Проверка: первый едет \(3\) ч, второй \(4\) ч — разница 1 ч.

22. \[ y=\frac{(x-1)(x^2-4)}{x-2} =\frac{(x-1)(x-2)(x+2)}{x-2} =(x-1)(x+2), \] но \(x\ne 2\). Значит график — парабола \[ y=x^2+x-2 \] с выколотой точкой \((2;4)\). Вершина параболы: \[ x=-\frac12,\quad y=-\frac94. \] Горизонтальная прямая \(y=m\) имеет ровно одну общую точку с графиком:

• при касании в вершине: \(m=-\frac94\);
• при \(m=4\): прямая проходит через выколотую точку \((2;4)\) и ещё через точку \((-3;4)\), поэтому остаётся одна точка графика.

23. Линия \(EF\) параллельна основаниям, поэтому её длина меняется линейно от \(21\) до \(35\).
\[ \frac{CF}{CD}=\frac{5}{5+2}=\frac57. \] От верхнего основания \(BC\) до \(AD\): \[ EF=21+\frac57(35-21)=21+10=31. \]

24. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA=OC\).
Рассмотрим треугольники \(AOE\) и \(COF\):

• \(OA=OC\);
• \(\angle AOE=\angle COF\) как вертикальные;
• \(\angle OAE=\angle OCF\), так как \(AB\parallel CD\). Значит, треугольники равны, и \(AE=CF\).

25. По свойству биссектрисы: \[ \frac{AC}{BC}=\frac{AM}{MB}=\frac{13}{15}. \] По теореме об угле между касательной и хордой треугольники \(DCA\) и \(DBC\) подобны. Поэтому \[ \frac{DA}{DB}=\left(\frac{AC}{BC}\right)^2=\left(\frac{13}{15}\right)^2=\frac{169}{225}. \] Точка \(D\) лежит вне отрезка \(AB\), причём ближе к \(A\). Пусть \(DA=x\), тогда \(DB=x+28\): \[ \frac{x}{x+28}=\frac{169}{225}. \] Отсюда: \[ 225x=169x+4732,\quad 56x=4732,\quad x=84{,}5. \] Тогда \(DA=84{,}5\), \(DB=112{,}5\). По теореме о касательной и секущей: \[ CD^2=DA\cdot DB, \] \[ CD=\sqrt{84{,}5\cdot112{,}5}=97{,}5. \]