Сделай номер 250 с таблицей для составления уравнения
Краткий ответ: исходная дробь — \(\dfrac{12}{18}\), её значение равно \(\dfrac{2}{3}\).
Таблица для составления уравнения
| Было | Изменение | Стало | |
|---|---|---|---|
| Числитель | \(x\) | \(-2\) | \(x-2\) |
| Знаменатель | \(x+6\) | \(+2\) | \(x+8\) |
| Дробь | \(\dfrac{x}{x+6}\) | — | \(\dfrac{x-2}{x+8}\) |
Пусть \(x\) — числитель исходной дроби, \(x\in\mathbb N\). Тогда знаменатель равен \(x+6\).
Новая дробь меньше исходной на \(\frac16\), значит:
\[ \frac{x}{x+6}-\frac{x-2}{x+8}=\frac16. \]
Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{x(x+8)-(x-2)(x+6)}{(x+6)(x+8)}=\frac16. \]
Числитель:
\[ x^2+8x-(x^2+4x-12)=4x+12=4(x+3). \]
Получаем:
\[ \frac{4(x+3)}{(x+6)(x+8)}=\frac16. \]
Умножаем крест-накрест:
\[ 24(x+3)=(x+6)(x+8), \]
\[ 24x+72=x^2+14x+48, \]
\[ x^2-10x-24=0. \]
Решаем:
\[ D=100+96=196,\qquad x=\frac{10\pm14}{2}. \]
\[ x_1=12,\qquad x_2=-2. \]
Корень \(x=-2\) не подходит: числитель обыкновенной дроби должен быть натуральным числом.
Значит, \(x=12\), а знаменатель:
\[ x+6=18. \]
Получаем дробь:
\[ \boxed{\frac{12}{18}} \]
Проверка
\[ \frac{12}{18}=\frac23,\qquad \frac{12-2}{18+2}=\frac{10}{20}=\frac12. \]
\[ \frac23-\frac12=\frac46-\frac36=\frac16. \]
Условие выполняется. Важно: по условию подходит именно запись \(\frac{12}{18}\); если её сократить до \(\frac23\), разность числителя и знаменателя уже не будет равна \(6\).
Обсуждение
4 сообщенияА в проверке откуда в знаменателе взялось х+2
В проверке \(x+2\) нигде не должно быть — возможно, ты прочитал \(18+2\).
Смотри:
- исходная дробь: \(\dfrac{x}{x+6}=\dfrac{12}{18}\);
- знаменатель увеличили на 2, поэтому новый знаменатель: \[ 18+2=20. \]
- если записывать через \(x\), то исходный знаменатель был \(x+6\), поэтому новый: \[ (x+6)+2=x+8. \]
При \(x=12\):
\[ x+8=12+8=20. \]
То есть в проверке \(18+2\) — это тот же самый знаменатель, что \(x+8\), а не \(x+2\). В прошлом ответе ошибки нет: новая дробь имеет вид
\[ \frac{x-2}{x+8}=\frac{12-2}{12+8}=\frac{10}{20}=\frac12. \]
Дай похожую задачу на закрепление
Задача на закрепление
Числитель обыкновенной дроби на \(6\) меньше знаменателя. Если числитель уменьшить на \(3\), а знаменатель увеличить на \(3\), то новая дробь будет меньше исходной на \(\dfrac{3}{14}\). Найдите исходную дробь.
Таблица для составления уравнения
| Было | Изменение | Стало | |
|---|---|---|---|
| Числитель | \(x\) | \(-3\) | \(x-3\) |
| Знаменатель | \(x+6\) | \(+3\) | \(x+9\) |
| Дробь | \(\dfrac{x}{x+6}\) | — | \(\dfrac{x-3}{x+9}\) |
Составь уравнение:
\[ \frac{x}{x+6}-\frac{x-3}{x+9}=\frac{3}{14}. \]
Ответ для самопроверки: \(x=15\), исходная дробь — \(\boxed{\dfrac{15}{21}}\).
Проверка:
\[ \frac{15-3}{21+3}=\frac{12}{24}=\frac12, \qquad \frac{15}{21}-\frac12=\frac57-\frac12=\frac{3}{14}. \]
Если решишь — пришли уравнение или ответ, проверим.
