Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- 22,5 м
- 25
- 13
- 69°
- в 6,25 раза, или \(\frac{25}{4}\)
14. Движение поезда
Расстояния за секунды образуют арифметическую прогрессию:
\[ a_1=0{,}9,\quad d=0{,}3,\quad n=10 \]
За 10-ю секунду:
\[ a_{10}=0{,}9+9\cdot0{,}3=3{,}6 \]
Сумма:
\[ S_{10}=\frac{0{,}9+3{,}6}{2}\cdot10=22{,}5 \]
Ответ: 22,5 м.
15. Прямоугольный треугольник
Угол \(C=90^\circ\), значит \(AB\) — гипотенуза.
\[ \cos B=\frac{BC}{AB} \]
\[ BC=AB\cos B=60\cdot\frac{5}{12}=25 \]
Ответ: 25.
16. Трапеция, описанная около окружности
В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны:
\[ AB+CD=AD+BC \]
\[ AD+BC=11+15=26 \]
Средняя линия трапеции:
\[ m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{26}{2}=13 \]
Ответ: 13.
17. Угол между высотой и большей диагональю ромба
Один угол ромба:
\[ 138^\circ \]
Соседний с ним:
\[ 180^\circ-138^\circ=42^\circ \]
Большая диагональ ромба проходит через острые углы и делит угол \(42^\circ\) пополам:
\[ 42^\circ:2=21^\circ \]
Высота перпендикулярна стороне, поэтому угол между высотой и большей диагональю:
\[ 90^\circ-21^\circ=69^\circ \]
Ответ: 69°.
18. Площади двух кругов
По клеткам радиусы:
\[ R=5,\qquad r=2 \]
Площадь круга:
\[ S=\pi R^2 \]
Отношение площадей:
\[ \frac{S_{\text{больш}}}}{S_{\text{меньш}}} = \frac{\pi\cdot5^2}{\pi\cdot2^2} = \frac{25}{4} = 6{,}25 \]
Ответ: в 6,25 раза.
Обсуждение
2 сообщенияЗадания 19–25 (страница 8)
Краткие ответы:
19. 3
20. 0,8; 1,5
21. 80 км/ч
22. \(k=-5,\ 5,\ -\frac{29}{4}\)
23. 36
24. доказано
25. 20,8 \(\left(\frac{104}{5}\right)\)
19
Верно утверждение 3: из точки вне окружности можно провести две касательные к ней.
- Неверно: у ромба не все углы обязательно равны.
- Неверно: четырёхугольник не определяется однозначно только своими четырьмя сторонами.
Ответ: 3.
20
\[ \frac{1}{(x-1)^2}+\frac{3}{x-1}-10=0 \]
Пусть \(t=\frac1{x-1}\). Тогда:
\[ t^2+3t-10=0 \] \[ (t-2)(t+5)=0 \]
Значит \(t=2\) или \(t=-5\).
\(\frac1{x-1}=2\)
\[ x-1=\frac12,\quad x=\frac32=1{,}5 \]\(\frac1{x-1}=-5\)
\[ x-1=-\frac15,\quad x=\frac45=0{,}8 \]
Ответ: \(0{,}8;\ 1{,}5\).
21
Пусть скорость первого автомобиля \(x\) км/ч, тогда второго — \(x-10\) км/ч.
Второй едет на 1 час дольше:
\[ \frac{560}{x-10}-\frac{560}{x}=1 \]
\[ 560x-560(x-10)=x(x-10) \]
\[ 5600=x^2-10x \]
\[ x^2-10x-5600=0 \]
\[ D=100+22400=22500,\quad \sqrt D=150 \]
\[ x=\frac{10+150}{2}=80 \]
Ответ: 80 км/ч.
22
\[ y=\frac{(x^2+6{,}25)(x-1)}{1-x} \]
Так как \(1-x=-(x-1)\), при \(x\ne1\):
\[ y=-(x^2+6{,}25)=-x^2-6{,}25 \]
То есть график — парабола \(y=-x^2-6{,}25\) с выколотой точкой:
\[ x=1,\quad y=-1-6{,}25=-7{,}25 \]
Прямая \(y=kx\). Найдём пересечения:
\[ kx=-x^2-\frac{25}{4} \]
\[ x^2+kx+\frac{25}{4}=0 \]
- Одно касание параболы:
\[ D=k^2-25=0 \]
\[ k=\pm5 \]
- Прямая проходит через выколотую точку \((1;-7{,}25)\):
\[ k=\frac{-7{,}25}{1}=-\frac{29}{4} \]
Тогда одна из точек пересечения «выколота», остаётся ровно одна общая точка.
Ответ: \[ k=-5;\quad k=5;\quad k=-\frac{29}{4}. \]
23
Так как \(CF:FD=5:3\), то
\[ \frac{CF}{CD}=\frac{5}{5+3}=\frac58 \]
Длина отрезка, параллельного основаниям, меняется линейно от \(BC=16\) до \(AD=48\):
\[ EF=BC+\frac{CF}{CD}(AD-BC) \]
\[ EF=16+\frac58(48-16) \]
\[ EF=16+\frac58\cdot32=16+20=36 \]
Ответ: 36.
24
В параллелограмме \(ABCD\):
\[ AB=CD,\quad AD=BC \]
Дано \(CD=2AD\). Точка \(N\) — середина \(CD\), значит
\[ DN=\frac{CD}{2}=AD \]
Треугольник \(ADN\) равнобедренный, поэтому
\[ \angle DAN=\angle AND \]
Но \(DN\parallel AB\), поэтому накрест лежащие углы равны:
\[ \angle AND=\angle BAN \]
Следовательно,
\[ \angle DAN=\angle BAN \]
То есть \(AN\) делит угол \(BAD\) пополам.
Доказано.
25
По свойству биссектрисы:
\[ \frac{AC}{BC}=\frac{AM}{MB}=\frac{8}{13} \]
Треугольники \(DCA\) и \(DBC\) подобны по теореме о касательной и хорде, поэтому:
\[ \frac{AD}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{13} \]
и
\[ \frac{DC}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{13} \]
Значит можно записать:
\[ AD:DC:DB=64:104:169 \]
Пусть \(AD=64u,\ DC=104u,\ DB=169u\). Поскольку \(AB=21\),
\[ DB-AD=21 \]
\[ 169u-64u=21 \]
\[ 105u=21 \]
\[ u=\frac15 \]
Тогда
\[ CD=104u=\frac{104}{5}=20{,}8 \]
Ответ: 20,8.
