реши и распиши

Кратко:
а) \(6\), при \(a\ne \pm 3\);
б) \(10\), при \(x\ne \pm 5y\).

а)

\[ \frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\left(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}\right) \]

Сначала сложим дроби в скобках. Общий знаменатель:

\[ (a-3)(a+3)=a^2-9 \]

Получаем:

\[ \frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{a^2-9} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ (6a+1)(a+3)=6a^2+19a+3 \]

\[ (6a-1)(a-3)=6a^2-19a+3 \]

Сумма:

\[ 6a^2+19a+3+6a^2-19a+3=12a^2+6=6(2a^2+1) \]

Тогда всё выражение равно:

\[ \frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}=6 \]

Ответ: \(6\).
Ограничения: \(a\ne 3\), \(a\ne -3\), потому что при этих значениях знаменатели исходных дробей обращаются в нуль.

б)

\[ \left(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}\right):\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2} \]

Сначала сложим дроби в скобках:

\[ \frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{(x-5y)(x+5y)} \]

Раскроем скобки:

\[ (5x+y)(x+5y)=5x^2+26xy+5y^2 \]

\[ (5x-y)(x-5y)=5x^2-26xy+5y^2 \]

В сумме:

\[ 10x^2+10y^2=10(x^2+y^2) \]

Знаменатель:

\[ (x-5y)(x+5y)=x^2-25y^2 \]

Значит, сумма в скобках равна:

\[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2} \]

Теперь деление заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\cdot \frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=10 \]

Ответ: \(10\).
Ограничения: \(x\ne 5y\), \(x\ne -5y\).

Проверка:
При \(a=1\) выражение а) даёт \(6\).
При \(x=1\), \(y=1\) выражение б) даёт \(10\).

Главный принцип: сначала приводим дроби к общему знаменателю, затем раскладываем на множители и сокращаем только множители, а не отдельные слагаемые.