Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{24}{48}=\dfrac{1}{2}\)

2. а) \(\dfrac{4\cdot5}{15\cdot6}=\dfrac{2}{9}\); б) \(\dfrac{18\cdot25}{75\cdot12}=\dfrac{1}{2}\); в) \(\dfrac{6\cdot7+5\cdot7}{49}=\dfrac{11}{7}=1\dfrac{4}{7}\)

3. а) НОД \(=84\), \(\dfrac{420}{756}=\dfrac{5}{9}\); б) НОД \(=180\), \(\dfrac{1260}{1980}=\dfrac{7}{11}\)

Как это делается (принцип)

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель; дробь при этом не меняется, потому что мы делим на одно и то же число (это деление на единицу, записанную как \(\frac{k}{k}\)). В произведениях не нужно перемножать: удобнее сразу «гасить» одинаковые множители сверху и снизу.

1. Сокращение обычных дробей

Ищем наибольший общий делитель (НОД):

• \(\frac{10}{15}\): общий делитель \(5\) → \(\frac{2}{3}\);
• \(\frac{12}{18}\): общий \(6\) → \(\frac{2}{3}\);
• \(\frac{24}{48}\): общий \(24\) → \(\frac{1}{2}\).

2. Сокращение через множители

а) \(\dfrac{4\cdot5}{15\cdot6}\): \(5\) и \(15\) дают \(1\) и \(3\); \(4\) и \(6\) дают \(2\) и \(3\):

\[\frac{4\cdot5}{15\cdot6}=\frac{2\cdot1}{3\cdot3}=\frac{2}{9}\]

б) \(\dfrac{18\cdot25}{75\cdot12}\): \(25\) и \(75\) → \(1\) и \(3\); \(18\) и \(12\) → \(3\) и \(2\):

\[\frac{18\cdot25}{75\cdot12}=\frac{3\cdot1}{3\cdot2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

в) Сначала вынесем общий множитель в числителе — это ключевой приём:

\[\frac{6\cdot7+5\cdot7}{49}=\frac{7(6+5)}{49}=\frac{7\cdot11}{7\cdot7}=\frac{11}{7}=1\frac{4}{7}\]

3. Через НОД (разложение на простые множители)

а) \(420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7\), \(756=2^2\cdot3^3\cdot7\). Берём общие множители с наименьшими степенями:

\[\text{НОД}=2^2\cdot3\cdot7=84,\quad \frac{420:84}{756:84}=\frac{5}{9}\]

б) \(1260=2^2\cdot3^2\cdot5\cdot7\), \(1980=2^2\cdot3^2\cdot5\cdot11\):

\[\text{НОД}=2^2\cdot3^2\cdot5=180,\quad \frac{1260:180}{1980:180}=\frac{7}{11}\]

Можно и алгоритмом Евклида (вычитанием): \(1980-1260=720\); \(1260-720=540\); \(720-540=180\); \(540\) делится на \(180\) — значит, НОД \(=180\).

Проверка

• \(20:90=0{,}222...\) и \(2:9=0{,}222...\) ✓
• \(450:900=0{,}5\) и \(1:2=0{,}5\) ✓
• \(77:49=1{,}571...\) и \(11:7=1{,}571...\) ✓
• \(420:756=0{,}555...\) и \(5:9=0{,}555...\) ✓
• \(1260:1980=0{,}636...\) и \(7:11=0{,}636...\) ✓

Небольшое уточнение: в задании 3а знаменатель читается как 756 — при этом получается красивое сокращение до \(\frac{5}{9}\). Если там всё-таки 758, то числа делятся только на \(2\), и выйдет \(\frac{210}{379}\) (дальше не сокращается).