Решение
Краткий ответ
Для функции
\[
y=\frac13x^2-4x+4
\]
ветви параболы направлены вверх, так как \(a=\frac13>0\). Вершина:
\[
(6;-8).
\]
Ось симметрии: \(x=6\).
Удобные точки для графика: \[ (0;4),\ (3;-5),\ (6;-8),\ (9;-5),\ (12;4). \] Их нужно соединить плавной U-образной линией.
Как это получить
Абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a} =-\frac{-4}{2\cdot \frac13} =\frac{4}{\frac23}=6. \]
Подставляем \(x=6\): \[ y_0=\frac13\cdot 36-4\cdot 6+4 =12-24+4=-8. \] Значит, вершина действительно \((6;-8)\). У тебя это вычислено верно.
Полезно выделить полный квадрат: \[ y=\frac13x^2-4x+4 =\frac13(x-6)^2-8. \] Отсюда сразу видно: минимальное значение равно \(-8\) при \(x=6\), а ветви идут вверх.
Парабола симметрична относительно \(x=6\), поэтому \[ f(3)=f(9)=-5,\qquad f(0)=f(12)=4. \]
Если заполнять таблицу по соседним целым \(x\):
| \(x\) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-5\) | \(-\frac{20}{3}\) | \(-\frac{23}{3}\) | \(-8\) | \(-\frac{23}{3}\) | \(-\frac{20}{3}\) | \(-5\) |
То есть значение \(-8\) достигается только в вершине \(x=6\); соседние точки уже выше.
Проверка
Верхний график \(y=\frac14x^2+x+1\) тоже построен верно:
\[
y=\frac14(x+2)^2,
\]
вершина \((-2;0)\), ветви вверх.
Обсуждение
12 сообщенийВ 7 что писать 8... ?
При \(x=7\):
\[ y=\frac13\cdot 7^2-4\cdot 7+4 =\frac{49}{3}-28+4 =\frac{49}{3}-24 =-\frac{23}{3} =-7\frac23. \]
То есть в столбике под \(7\) пиши:
\[ \boxed{-7\frac23 \approx -7{,}67} \]
При \(x=8\):
\[ y=\frac13\cdot 8^2-4\cdot 8+4 =\frac{64}{3}-32+4 =\frac{64}{3}-28 =-\frac{20}{3} =-6\frac23. \]
Значит, под \(8\) пиши:
\[ \boxed{-6\frac23 \approx -6{,}67} \]
Можно заметить симметрию относительно \(x=6\):
\[
y(7)=y(5)=-7\frac23,\qquad y(8)=y(4)=-6\frac23.
\]
Для \(x=9\) будет \(y=-5\).
Что в 9
При \(x=9\):
\[ y=\frac13\cdot 9^2-4\cdot 9+4 =27-36+4 =-5 \]
В таблицу под \(9\) пиши:
\[ \boxed{-5} \]
Точка графика: \((9;-5)\).
5 что
При \(x=5\):
\[ y=\frac13\cdot 5^2-4\cdot 5+4 =\frac{25}{3}-20+4 =\frac{25}{3}-16 =-\frac{23}{3} =-7\frac23. \]
Пиши:
\[ \boxed{-7\frac23} \]
Точка графика: \((5;-7\frac23)\). Это симметрично точке при \(x=7\).
Что в 4 и 3
При \(x=4\):
\[ y=\frac13\cdot 4^2-4\cdot 4+4 =\frac{16}{3}-16+4 =\frac{16}{3}-12 =-\frac{20}{3} =-6\frac23. \]
Пиши:
\[ \boxed{-6\frac23} \]
При \(x=3\):
\[ y=\frac13\cdot 3^2-4\cdot 3+4 =3-12+4=-5. \]
Пиши:
\[ \boxed{-5} \]
Точки: \((4;-6\frac23)\) и \((3;-5)\).
1 больше 0
Если ты про таблицу для \(x=1\) и \(x=0\), то:
\[ x=1:\quad y=\frac13\cdot1^2-4\cdot1+4=\frac13 \]
\[ x=0:\quad y=\frac13\cdot0^2-4\cdot0+4=4 \]
То есть:
\[ \boxed{x=1 \Rightarrow y=\frac13;\qquad x=0 \Rightarrow y=4} \]
Да, \(1>0\), но значения функции при этом разные: \(y(0)=4\), а \(y(1)=\frac13\).
Верно?
Не совсем.
Если функция действительно
\[
y=x^2-4x+5,
\]
то:
- \(a=1>0\), значит, ветви вверх — верно;
- \(x\)-координата вершины: \[ x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2 \] — верно;
- а \(y\)-координата: \[ y_0=2^2-4\cdot2+5=4-8+5=1. \]
Значит, вершина параболы: \[ \boxed{(2;1)} \] Если у тебя записано \((2;11)\), то это ошибка.
Ещё можно записать: \[ y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1. \]
Таблица на фото со значениями \(0;\ 0{,}25;\ 1;\ 2{,}25\ldots\) — это таблица не для этой функции. Она подходит к \(y=\frac14x^2+x+1\) из предыдущего задания.
Для \(y=x^2-4x+5\) удобно взять, например:
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(10\) | \(5\) | \(2\) | \(1\) | \(2\) | \(5\) | \(10\) |
Итог: ветви и \(x=2\) верно, но вершина должна быть \((2;1)\), а таблицу нужно пересчитать для этой функции.
