Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).

Как решать такие уравнения

Перед нами квадратное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\), где \(a=1,\; b=-5,\; c=6\).

Способ 1. Через дискриминант

1. Считаем дискриминант: \[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
2. Так как \(D>0\), корней два: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]
3. Получаем: \[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2 \]

Способ 2. По теореме Виета (удобно, когда \(a=1\))

Сумма корней равна \(-b\), произведение равно \(c\): \[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6 \] Подбираем числа: \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\). Значит, корни — \(2\) и \(3\).

Проверка

Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔
Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔

Принцип: для уравнения \(x^2+px+q=0\) ищите два числа, которые в сумме дают \(-p\), а в произведении \(q\). Если подобрать трудно или \(a\ne 1\), всегда выручает дискриминант: \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.