пошаговое объяснить решение задачи

Краткий ответ. Треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по первому признаку:
\[ AB=CD,\qquad AC\text{ — общая},\qquad \angle BAC=\angle DCA. \] А равенство \(AB=CD\) и равенство этих углов получается из равенства треугольников \(ABM\) и \(CDM\).

1. Сначала доказываем равенство \(\triangle ABM\) и \(\triangle CDM\)

По условию: \[ AM=MC,\qquad BM=MD. \] Точка \(M\) — пересечение прямых \(AC\) и \(BD\), поэтому углы \(\angle AMB\) и \(\angle CMD\) вертикальные: \[ \angle AMB=\angle CMD. \] Значит, в треугольниках \(ABM\) и \(CDM\) равны две стороны и угол между ними. По первому признаку: \[ \triangle ABM=\triangle CDM. \]

2. Используем равенство этих треугольников

В равных треугольниках соответствующие элементы равны. Поэтому: \[ AB=CD, \] \[ \angle BAM=\angle DCM. \]

Но точка \(M\) лежит на отрезке \(AC\), значит лучи \(AM\) и \(AC\) совпадают, а лучи \(CM\) и \(CA\) совпадают. Поэтому: \[ \angle BAM=\angle BAC,\qquad \angle DCM=\angle DCA. \] Следовательно: \[ \angle BAC=\angle DCA. \]

3. Доказываем равенство \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\)

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\):

\[ AB=CD, \] \[ AC=CA \text{ — общая сторона}, \] \[ \angle BAC=\angle DCA. \]

Угол \(\angle BAC\) заключён между сторонами \(AB\) и \(AC\), а угол \(\angle DCA\) — между сторонами \(CD\) и \(CA\). Значит, выполнены условия первого признака равенства треугольников: \[ \triangle ABC=\triangle CDA. \]

Проверка: порядок вершин в записи \(\triangle ABC=\triangle CDA\) означает соответствие \[ A\leftrightarrow C,\quad B\leftrightarrow D,\quad C\leftrightarrow A. \] Поэтому попутно получаем \(BC=AD\), что согласуется с рисунком.

Идея решения: сначала доказываем равенство «внутренних» треугольников, а потом переносим полученные равенства сторон и углов на «внешние» треугольники.