Какой признак используется при доказательстве подобия треугольников A O B AOB и A 1 O B 1 A 1 OB 1 ? . Равенство каких углов показано на рисунке?

Кратко: используется признак подобия по двум углам. На рисунке отмечено равенство
\[ \angle ABO=\angle A_1B_1O \] — это углы при вершинах \(B\) и \(B_1\). Второй равный угол — общий при вершине \(O\): \[ \angle AOB=\angle A_1OB_1. \]

Почему так:

1. Точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат на лучах \(OA\) и \(OB\), поэтому угол при \(O\) у треугольников общий.
2. Дуги на рисунке показывают, что \(\angle ABO=\angle A_1B_1O\).
3. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Значит, \[ \triangle AOB\sim\triangle A_1OB_1, \] причём соответствуют вершины \[ A\leftrightarrow A_1,\quad O\leftrightarrow O,\quad B\leftrightarrow B_1. \] Отсюда и пропорциональность сторон: \[ \frac{AO}{A_1O}=\frac{BO}{B_1O}=\frac{AB}{A_1B_1}. \]